半径$1$の円が直線上を一定の速さ$a (a>0)$で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻$0$において直線と接している円周上の点を$\mathrm{P}$，時刻$0$から$t$までに円が回転した角度を$\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．
(2)積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2\pi}{a}} |\overrightarrow{v(t)}| \, dt$を求めよ．

自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を$f_1(x)=x$，$n \geqq 2$のとき$f_n(x)=\displaystyle \int_0^x tf_{n-1}(x-t) \, dt$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$を類推し，それが正しいことを証明せよ．

実数$x$に対して，$n \leqq x<n+1$を満たす整数$n$を$[x]$と書く． \\
以下の問に答えなさい．
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(1)$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域を図示しなさい．
補足：$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域とは，$[x]=1$ \\
および$[y]=1$を同時に満たす点$(x,\ y)$の全体のことである．
(2)等式$[y]=[x]$が表す領域を図示しなさい．
(3)右の図の斜線で示された領域$A$を表す等式を求めなさい．ただし，領域$A$には，斜線部分の境界上の点線で示された部分および白丸で表された点は含まれない．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は$2$つの複素数解$\alpha+i \beta$と$\alpha-i \beta$を持ち，$\alpha$と$\beta$は実数で，$\beta>0$とする．ただし，$i$は虚数単位である．次の問に答えなさい．

(1)$\alpha$と$\beta$を$a$と$b$を用いて表しなさい．
(2)$\alpha=\beta$であるとき，$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフと，この放物線の軸，$x$軸，$y$軸とで囲まれる部分の面積を$\alpha$を用いて表しなさい．

$\displaystyle f(x)=x^3-3ax^2-3bx+c,\ H(x)=\int f(x) \, dx$とおく．また，方程式$f^\prime(x)=0$は異なる解を持ち，$x=-1$はその$1$つの解とする．次の問に答えなさい．

(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．

関数$f(x)=e^{\sqrt{3}x} \sin x$について，次の問に答えなさい．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x$が$0<x<\pi$の範囲にあるとき，関数$f(x)$の極値を与える$x$の値を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^\pi e^{\sqrt{3}x} \sin x \, dx$を計算しなさい．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める：
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．

(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin^2 x}{x}$の導関数を求めよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3$に対して，$\displaystyle a_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx$とおく．連立不等式
\[ \frac{\pi}{2} \leqq x\leqq 2\pi,\quad 0 \leqq y \leqq |\displaystyle\frac{\sin x|{x}} \]
によって表される領域の部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$a_1$，$a_2$，$a_3$を用いて表せ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{D}$と$\mathrm{F}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CO}$を$\displaystyle \frac{t}{3}:\left( 1-\frac{t}{3} \right)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(2)$\displaystyle t=\frac{3}{4}$のとき，$4$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$が同一平面上に存在することを示せ．
(3)$(2)$のとき，線分$\mathrm{DF}$と線分$\mathrm{EG}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を表せ．

$2$つの曲線$C_1:y=x \log x$，$C_2:y=2x \log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$である．

(1)$C_1$と$C_2$に共通する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．