「不等号」について
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公立 京都府立大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$で表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{OB}$を$3:1$に外分する点とする．以下の問いに答えよ．
(1)実数$s,\ t$が$\displaystyle 0 \leqq s \leqq \frac{1}{2},\ 0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(2)実数$s,\ t$が$3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(3)実数$s,\ t$が$s+2t=2,\ 3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たすとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=4,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3,\ \angle \text{AOB}=60^\circ$とする．$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$s,\ t$の関係式を求めよ．
(1)実数$s,\ t$が$\displaystyle 0 \leqq s \leqq \frac{1}{2},\ 0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(2)実数$s,\ t$が$3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(3)実数$s,\ t$が$s+2t=2,\ 3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たすとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=4,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3,\ \angle \text{AOB}=60^\circ$とする．$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$s,\ t$の関係式を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第1問放物線$C:y=x^2$の点A$(a,\ a^2) \ (a>0)$を通り，放物線のこの点における接線に垂直な直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．
(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第2問表が出る確率が$p \ (0<p<1)$のコイン3枚を同時に投げたとき，表と裏が出る事象を$A$，少なくとも1つが表である事象を$B$とする．次の問いに答えよ．
(1)事象$A \cap B,\ A \cup B$および$\overline{A} \cap B$の確率を求めよ．
(2)$(A \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．
(3)表1枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．
(1)事象$A \cap B,\ A \cup B$および$\overline{A} \cap B$の確率を求めよ．
(2)$(A \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．
(3)表1枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第1問表が出る確率が$p \ (0<p<1)$のコイン3枚を同時に投げたとき，表と裏が出る事象を$A$，少なくとも1つが表である事象を$B$とする．次の問いに答えよ．
(1)事象$A \cap B,\ A \cup B$および$\overline{A} \cap B$の確率を求めよ．
(2)$(A \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．
(3)表1枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．
(1)事象$A \cap B,\ A \cup B$および$\overline{A} \cap B$の確率を求めよ．
(2)$(A \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．
(3)表1枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第2問放物線$C:y=x^2$の点A$(a,\ a^2) \ (a>0)$における法線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．
(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第3問平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$と実数$p \ (0<p<1)$に対して，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$の位置ベクトルを
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_1}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_2}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_3}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_4}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_5}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p^4\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \cdots \nonumber
\end{eqnarray}
によって定義する．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}$を$n,\ p,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とする．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AB}$をどのような比に分けるか答えよ．
(3)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OQ}$をどのような比に分けるか答えよ．
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_1}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_2}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_3}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_4}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_5}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p^4\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \cdots \nonumber
\end{eqnarray}
によって定義する．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}$を$n,\ p,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とする．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AB}$をどのような比に分けるか答えよ．
(3)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OQ}$をどのような比に分けるか答えよ．
公立 大阪府立大学 2011年 第2問平面上に三角形OABがあり，$\text{OA}=3,\ \text{OB}=2,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-2$であるとする．線分OAを$2:1$の比に内分する点をCとする．また，線分ABを$t:(1-t)$の比に内分する点をPとし，直線OPと直線BCの交点をQとする．ただし，$t$は$0<t<1$を満たす実数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)三角形OABの面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる実数$k$を$t$を用いて表せ．
(3)三角形OCQの面積が$\sqrt{2}$になるときの$t$の値を求めよ．
(1)三角形OABの面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる実数$k$を$t$を用いて表せ．
(3)三角形OCQの面積が$\sqrt{2}$になるときの$t$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第4問長方形OAB$_1$C$_1$において$\text{OA}=1,\ \angle \text{AOB}_1=\theta \ (0^\circ<\theta<90^\circ)$とする．図のように，この長方形の対角線OB$_1$を一辺とし，$\angle \text{B}_1 \text{OB}_2=\theta$となる長方形OB$_1$B$_2$C$_2$を反時計回りに作る．同様にして$\angle \text{B}_n \text{OB}_{n+1}=\theta$となる長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を作る．次の問いに答えよ．
(1)線分OB$_1$およびB$_1$B$_2$の長さを$\theta$で表せ．
(2)長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1}$の面積を$n$と$\theta$で表せ．ただしB$_0=\text{A}$とする．
(3)$\theta=30^\circ$のとき，図形OAB$_1$B$_2$B$_3$B$_4$C$_4$の面積$S$を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)線分OB$_1$およびB$_1$B$_2$の長さを$\theta$で表せ．
(2)長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1}$の面積を$n$と$\theta$で表せ．ただしB$_0=\text{A}$とする．
(3)$\theta=30^\circ$のとき，図形OAB$_1$B$_2$B$_3$B$_4$C$_4$の面積$S$を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
公立 愛知県立大学 2011年 第3問曲線$C_1:y=p \cos x$，$C_2:y=q \sin x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ p>0,\ q>0$である．
(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$p,\ q$で表せ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$p,\ q$で表せ．
(3)$p,\ q$が$p^2+q^2=4$を満たすとき，(2)で求めた面積$S$の最大値を求めよ．
(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$p,\ q$で表せ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$p,\ q$で表せ．
(3)$p,\ q$が$p^2+q^2=4$を満たすとき，(2)で求めた面積$S$の最大値を求めよ．
公立 愛知県立大学 2011年 第4問実数を成分に持つ行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \biggr)$とベクトル$P=\biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr),\ Q=\biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$b \neq 0$とする．
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．
(2)次の3条件を満たす$\beta,\ z,\ w$を求めよ．
\[ AQ=\beta Q,\quad z^2+w^2=1,\quad z<w \]
(3)(1)と(2)で定められた$\alpha,\ \beta,\ x,\ y,\ z,\ w$を用いて，次式を計算せよ．
\[ \alpha \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
x & y
\end{array} ) +\beta \biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
z & w
\end{array} ) \]
(4)(3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は1以上の自然数とする．
a & b \\
b & a
\end{array} \biggr)$とベクトル$P=\biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr),\ Q=\biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$b \neq 0$とする．
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．
(2)次の3条件を満たす$\beta,\ z,\ w$を求めよ．
\[ AQ=\beta Q,\quad z^2+w^2=1,\quad z<w \]
(3)(1)と(2)で定められた$\alpha,\ \beta,\ x,\ y,\ z,\ w$を用いて，次式を計算せよ．
\[ \alpha \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
x & y
\end{array} ) +\beta \biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
z & w
\end{array} ) \]
(4)(3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は1以上の自然数とする．