次の各問に答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．

0以上の整数$n$に対して
\[ a_n=\int_0^1 e^{-x}x^n \, dx \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ここで$e$は自然対数の底である．次の各問に答えよ．

(1)$a_0$と$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)等式
\[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)次式が成り立つことを証明せよ．
\[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]

次の問いに答えよ．

(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
7 & -3 \\
-3 & 1
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{c}
2 \\
-4
\end{array} \biggr)$とするとき，$A$の逆行列$A^{-1}$と$B$の積$A^{-1}B$を計算せよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=x^{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0) \]
(3)次の積分を求めよ．

\mon[(i)] $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x+1} \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}$

次の問いに答えよ．

(1)3つのサイコロを同時にふるとき，出る目の最大値と最小値を考える．

\mon[(i)] 最大値が3かつ最小値が2となる確率を求めよ．
\mon[(ii)] 最大値と最小値の差が2以上となる確率を求めよ．

(2)$a,\ b,\ c$は正の数とする．$(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)>0$であるための必要十分条件は，$b+c>a$かつ$c+a>b$かつ$a+b>c$であることを証明せよ．

初項$a$，公比$r$の等比数列$\{a_n\}$において
\[ a_1<a_2,\quad a_1+a_2+a_3=42,\quad a_1a_2a_3=512 \]
とする．ただし，$a,\ r$は実数である．

(1)初項$a$と公比$r$を求めよ．
(2)$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，$S_n>10^5$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

$xy$平面上に2点
\[ \text{A}(3\cos t,\ 3\sin t), \text{B}(-\sin 3t,\ \cos 3t) \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
がある．次の問いに答えよ．

(1)原点をOとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{6}$になる$t$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の最大値と最小値を求めよ．
(3)三角形OABの面積の最大値を求めよ．

不等式
\[ \log_2 (2y-1)-1 \geqq \log_2 (1-x) \geqq \log_2 y - \log_2 x -2 \]
の表す$xy$平面上の領域を$D$とする．

(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が$D$を動くとき，$z=xy$の最大値を求めよ．

$f(x)=e^{-x}\cos x$とする．

(1)$e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\frac{1}{n}\left\{ f \left( \frac{\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{2\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{3\pi}{2n} \right)+\cdots + f \left( \frac{n\pi}{2n} \right) \right\} \]
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
\[ S_n<\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx < S_n + \frac{1}{n} \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

関数$f(x)=(x-2)e^{-\frac{x}{3}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．必要であれば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
\[ x \geqq 0,\quad y \leqq 0,\quad y \geqq f(x) \]

$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$のそれぞれの大きさを$A,\ B,\ C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$を余弦の加法定理から導け．
(2)$(1)$の結果を用いて$\displaystyle \cos A+\cos B \leqq 2\sin \frac{C}{2}$を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$(2)$の結果を用いて$\cos A+\cos B+\cos C$が最大となるとき，$A,\ B,\ C$を求めよ．