関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

定数$a$に対して$f(x)=ax^2+3a$，$g(x)=2ax-a^2$とするとき，すべての実数$x$について$f(x)>g(x)$が成り立つための必要十分条件は$a>[チ]$であり，少なくとも$1$つの実数$x$について$f(x)>g(x)$が成り立つための必要十分条件は，$a>[ツ]$または$a<[テ]$である．

$a>0$，$b \geqq 0$のとき，曲線$y=-a \cos \pi x+a+b (0 \leqq x \leqq 1)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすると，
\[ V=\frac{\pi}{2}([ノ]a^2+[ハ]ab+[ヒ]b^2) \]
となる．また，ある定数$c$に対し$2a+b=c$が成り立つとすると，$\displaystyle a=\frac{c}{[フ]}$のとき，$V$は最小値$\displaystyle \frac{[ヘ]}{8}\pi c^2$をとる．

公正な硬貨$X$を$3$回投げる．「$1$回目に表が出る」という事象を$A$，「$3$回目に表が出る」という事象を$B$，「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象を$C$とする．このとき，
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である．

次に，硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$，裏の出る確率が$1-a$であるとする．この場合の確率を$P_a$で表すとき，
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

ただし，$[セ]$，$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$つの数字を使って作られる$3$桁の整数の中で，$345$より大きなものは$[　]$個である．また，$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$4$つの数字を使って作られる$4$桁の整数は，全部で$[　]$個である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,\ 5)$のなす角を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．また，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で作られる平行四辺形の面積は$[　]$である．
(3)$n \leqq \log_{10}2^{40}<n+1$を満たす整数は$n=[　]$であるから，$2^{40}$は$[　]$桁の整数である．$\log_{10}2$の値として$0.3010$を用いてよい．
(4)方程式$x^2=3+\sqrt{3+x}$の解は$x=[　]$，$\displaystyle \frac{[　]+\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

次の不等式を解きなさい．ただし$a \neq 1$，$a>0$とする．
\[ 2 \log_a (2x+1)>\log_a (2x+7)+\log_a x \]

$f(x)=\sqrt{(x-6)^2(-x-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2(x-3)^2}$とする．次の条件のとき，$f(x)$を簡単にしなさい．

(1)$6<x$のとき，$f(x)=[ア]$
(2)$3<x \leqq 6$のとき，$f(x)=[イ]$
(3)$2<x \leqq 3$のとき，$f(x)=[ウ]$
(4)$-1<x \leqq 2$のとき，$f(x)=[エ]$
(5)$x \leqq -1$のとき，$f(x)=[オ]$

$f(\theta)=-\sin^2 \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+\cos^2 \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$\theta$の値を求めなさい．

$3$つの実数$x,\ y,\ z (x<y<z)$において，$x+y+z=22$，$x^2+y^2+z^2=174$，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{31}{70}$である．これらの実数$x,\ y,\ z$を求めると
\[ x=[ア],\quad y=[イ],\quad z=[ウエ] \]
である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)放物線$y=-2x^2+7x+6$の頂点は$[ア]$，軸は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \cos \theta=-\frac{5}{13}$のとき，$\sin \theta=[ウ]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(3)$10$人を$7$人と$3$人に分ける仕方は，$[エ]$通りある．
(4)$1$から$1000$までの番号をつけた$1000$枚のカードから$1$枚をとりだすとき，その番号が$14$または$21$の倍数である確率は$[オ]$である．