次の問に答えよ．

(1)$x>0$のとき，関数$\displaystyle f(x)=x^2+x+\frac{2}{x}+\frac{1}{2x^2}$の最小値を求めよ．
(2)$1$から$10$までの番号が書かれた$10$枚のカードから同時に$3$枚を取り出したとき，カードに書かれた$3$つの数字の積が$3$の倍数になる確率を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{A}={75}^\circ$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$のとき，$\angle \mathrm{C}$，$\mathrm{AC}$を求めよ．

関数$f(x)=4 \sin 3x+9 \cos 2x$について次の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x$として，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$(x,\ y)$と点$(a,\ b)$とを結ぶ線分の傾きを求めよ．ただし，$x \neq a$とする．
(2)次の連立不等式の表す領域$D$を図示せよ．$x^2+y^2 \leqq 1,\ y \geqq x^2-1$
(3)$(2)$の領域$D$内の点$(x,\ y)$に対して$\displaystyle \frac{4y-7}{x-3}$が最大となる$(x,\ y)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$t$に関する関数$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のとき，$\sqrt{x^2-1}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とし，点$\mathrm{P}(a,\ b)$を双曲線$x^2-y^2=1$上にある第$1$象限内の点とする．$\displaystyle a=\frac{e^s+e^{-s}}{2} (s>0)$のとき，線分$\mathrm{OP}$と双曲線$x^2-y^2=1$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を，$s$を用いて表せ．

$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．

(1)方程式$\sin 8 \theta=0$の解の個数は$[　]$である．
(2)方程式$\cos 6 \theta=0$の解の個数は$[　]$である．
(3)方程式$\sin 14 \theta+\sin 2\theta=0$の解の個数は$[　]$である．

実数$a$について，次の定積分を考える．
\[ I(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x-ax)^2 \, dx \]

(1)不定積分$\int x \sin x \, dx$を求めよ．
(2)$I(a)$を求めよ．
(3)$a$が$a \geqq 0$の範囲を動くとき，$I(a)$の最小値を求めよ．

条件$0<a \leqq b$を満たす整数$a,\ b$に対して
\[ f(x)=x(x-a)(x-b)-5 \]
とおく．$f(x)$は$(x-k)(x^2+lx+m)$の形に因数分解されるとする．ただし，$k,\ l,\ m$は整数で，$k>0$である．

(1)$km=[ア]$である．このとき，$k$の値は$[イ]$または$[ウ]$である．ただし，$0<[イ]<[ウ]$とする．
(2)条件を満たすような数の組$(a,\ b,\ k)$は
\[ (\mkakko{エ},\ \mkakko{オ},\ \mkakko{カ}),\quad (\mkakko{キ},\ \mkakko{ク},\ \mkakko{ケ}),\quad (\mkakko{コ},\ \mkakko{サ},\ \mkakko{シ}) \]
である．ただし，$[エ]<[キ]<[コ]$とする．

放物線$y=ax^2+bx+c (a \neq 0)$が点$(0,\ 1)$を通り，かつ，その頂点の座標が$(\cos \theta,\ -\cos 2\theta)$であるとき，次の問に答えよ．ただし，定数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある．

(1)$a$および$c$の値を求めよ．
(2)$b$を$\theta$を用いて表せ．
(3)関数$y=ax^2+bx+c (-1 \leqq x \leqq 1)$の最大値が$5$となるような$\theta$の値をすべて求めよ．

実数$t$は$t>1$を満たすとする．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ t \right)$から，円$x^2+y^2=1$に相異なる$2$本の接線を引き，$2$つの接点を通る直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$t$を$t>1$の範囲で動かすとき，$t$によらず$\ell$が通る点がある．この点の座標を求めよ．

曲線$y=e^{x^2}-1 (x \geqq 0)$を$y$軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に，時刻$t$における水の体積が$vt$となるように，単位時間あたり$v$の割合で水を注入する．ただし，$v$は正の定数であり，$y$軸の負の方向を鉛直下方とする．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (y+1) \, dy$を求めよ．
(2)水面の高さが$h$となったときの容器内の水の体積$V$を，$h$を用いて表せ．ただし，$h$は容器の底から測った高さである．
(3)水面の高さが$e^{10}-1$となった瞬間における，水面の高さの変化率$\displaystyle \frac{dh}{dt}$を求めよ．