曲線$y=x^2-2x$と$x$軸に囲まれた部分と，この曲線と直線$x=a$と$x$軸で囲まれた部分の面積が等しくなる定数$a$の値を求めよ．ただし，$a>2$とする．

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$y=3 \cos x$のグラフ上の$1$点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{6},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$における接線に平行な単位ベクトルを$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)$，垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)$とすると，$(a_1,\ a_2)=[　]$，$(b_1,\ b_2)=[　]$である．
(2)$a_1>0$，$\sqrt{13}(a_1,\ a_2)=(A_1,\ A_2)$とおくとき，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
A_1+2 & A_2-2 \\
A_1 & A_2
\end{array} \right)$に対し，連立方程式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつとき，定数$m$の値は$[　]$である．次に行列$A$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が同じ向きになったという．ただし点$\mathrm{O}(0,\ 0)$であり，$x \neq 0$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる定数$k$の値は$[　]$である．さらにこのとき直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$y=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle m(x)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{x}{c^2}}}$とする．ただし$m_0,\ c$は正の定数である．また$c^2$より十分小さい正の定数$\varepsilon$に対して$0<x<\varepsilon$とする．

(i) $m^\prime(x)=[　]$である．
(ii) $m(x)-m_0$を平均値の定理を用いて表すと$[$*$]$である．ただし$*$を書き表わす際，新たに必要となる実数があれば$k$を用い，$k$が満たすべき条件も明記せよ．
(iii) $\varepsilon \to 0$とすると$*$の値は$[　]$に近づく．

(2)$a,\ b$を正の実数とするとき，積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\{ax+b(1-x)\}^2} \, dx$の値は$[　]$である．またこの値を$a$について微分すると，$[　]$となる．

$f(x)=x(1-\log x) (x>0)$とする．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

(1)$xy$平面において，$y=f(x)$の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$である．
(2)$xy$平面において，曲線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と交わる点における曲線の接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+28$（$a,\ b$は定数）がある．曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線の方程式が$y=15x$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)$a$の値は$[ア]$，$b$の値は$[イウ]$である．
(2)$f(x)$は
$x=[エオ]$のとき，極大値$[カキ]$
$x=[ク]$のとき，極小値$[ケコ]$
をとる．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲では，$f(x)$の最大値は$[サシ]$，最小値は$[スセ]$である．

$x$の$2$次方程式$2x^2-2kx+k-3=0$が，$x<0$の範囲と$x>1$の範囲にそれぞれ$1$つずつ解を持つように，定数$k$の値を定めると
\[ [　]<k<[　] \]
となる．

$2$次関数$y=ax^2+8x+10-a$について考える（ただし，$a \neq 0$）．

(1)この$2$次関数のグラフが，$x$軸とただ一つの共有点を持ち，$a<7$ならば，$a=[　]$である．またこのとき，$2$次関数のグラフの軸は直線$x=-[　]$である．
(2)$a=4$のとき，定義域が$-2 \leqq x \leqq 1$の場合の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．
(3)この$2$次関数のグラフの軸が直線$x=4$となるように$a$を定めたとき，頂点の$y$座標は$[　]$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$2$つの自然数$x,\ y (x<y)$の積が$588$で，最大公約数が$7$であるとき，この$2$つの自然数の組$(x,\ y)$は$(x,\ y)=[　]$である．
(2)$xy$平面において，$2$次関数$y=f(x)$のグラフが点$(2,\ 5)$を頂点とし，点$(-1,\ -4)$を通る放物線であるとき，$f(x)=[　]$である．また，このグラフを$x$軸方向に$[　]$，$y$軸方向に$[　]$だけ平行移動すれば$y=-x^2+10x-21$のグラフになる．
(3)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{DA}=3$のとき，$\mathrm{BD}=[　]$，$\mathrm{CD}=[　]$である．
(4)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\}$の部分集合$A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 8,\ 9\}$，$B=\{2,\ 4,\ m\}$（$m$は$2,\ 4$以外の$U$の要素）に対して，$A \cap B=\{2,\ 4\}$となるのは$m=[　]$のときであり，$\overline{A \cup B}=\{6,\ 7,\ 10\}$となるのは$m=[　]$のときである．ただし，$\overline{A \cup B}$は$U$における$A \cup B$の補集合である．
(5)$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2x^2} \right)^{12}$の展開式において，$x^3$の係数は$[　]$であり，定数項は$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} \div \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \times {2}^{\frac{5}{6}}=[　]$
(2)$(\log_2 27+5 \log_2 3) \cdot \log_3 2=[　]$
(3)$16<{4}^{x-1}<8 \cdot {2}^x$を満たす$x$の範囲は$[　]<x<[　]$である．
(4)$\log_{\frac{1}{3}}(x-2)+3>0$を満たす$x$の範囲は$2<x<[　]$である．