以下の問に答えよ．

(1)次の値を求めよ．
\[ \begin{array}{lllll}
① \log_2 36-\log_2 9 & & ② \log_3 \sqrt{729} & & ③ 4^3 \times (2^3)^{-2} \\
④ \sqrt[3]{3} \div \sqrt{9} \times \sqrt[4]{27} & & ⑤ \sin 225^\circ & & ⑥ \tan 210^\circ \phantom{\frac{[　]}{1}}
\end{array} \]
(2)正の整数の集合$A,\ B$がある．ここで$A=\{2n \;|\; 10 \leqq 2n \leqq 200,\ n \text{は正の整数} \}$，$B=\{ m^2 \;|\; 10 \leqq m^2 \leqq 200,\ m \text{は正の整数} \}$である．

(i) 集合$A$の要素の個数を求めよ．
(ii) $n$を正の整数とするとき，和$S=1+2+\cdots +n$を求めよ．
(iii) 集合$A$の要素の総和を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 集合$B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeigo$] 集合$A \cap B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeiroku$] 集合$A \cup B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeishichi$] 集合$A \cup B$から要素を$1$個取り出すとき，それが集合$A \cap B$の要素である確率を求めよ．

関数$f(x)=-x^2+4x-3$と$g(x)=kx-3$がある．ただし，$k$は定数で，$k<4$とする．また，座標平面上の放物線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標を，$a_1,\ a_2$とし（ただし，$a_1<a_2$とする），放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$の共有点の$x$座標を$b_1,\ b_2$とする（ただし，$b_1<b_2$とする）．以下の問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$の値を求めよ．
(2)点$(0,\ f(0))$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)次の図形の面積を求めよ．

\mon[$①$] 放物線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形
\mon[$②$] 放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$とで囲まれる図形

(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ ① \int_{b_1}^{a_2} f(x) \, dx \qquad ② \int_{b_2}^{a_2} f(x) \, dx \]
(5)$\displaystyle \int_{b_2}^{a_2} f(x) \, dx=\frac{2}{3}$となるような$k$の値をすべて求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

二項定理と二項係数を用いて，以下の問に答えよ．ただし，$m$と$n$は正の整数である．

(1)${(x+1)}^m$の展開式における$x^r$の係数を求めよ．ただし，$r$は整数で，$0 \leqq r \leqq m$とする．
(2)${(x^2+1)}^n$の展開式における$x^{2s}$の係数を求めよ．ただし，$s$は整数で，$0 \leqq s \leqq n$とする．
(3)$m$を$2$より大きな正の整数，$n$を正の整数とするとき，${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^3$の係数を$m$と$n$を用いて表せ．
(4)$m$を$2$より大きな正の整数，$n$を正の整数とするとき，${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^3$の係数が$30$であるという．

(i) 正の整数$m$および$n$の値を求めよ．
(ii) ${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^5$の係数の値を求めよ．

$2$次関数$\displaystyle f(x)=-x^2+2ax+\frac{1}{2}$について，以下の問に答えよ．ただし，$a \geqq 0$とする．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$の式で表せ．
(2)定義域$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$の式で表せ．

$f(x)=|x^2-2x-3|+|2x+3|$とする．次の条件のとき$f(x)$を簡単にしなさい．

(1)$\displaystyle x<-\frac{3}{2}$のとき，$f(x)=[　]$
(2)$\displaystyle -\frac{3}{2} \leqq x<-1$のとき，$f(x)=[　]$
(3)$-1 \leqq x<3$のとき，$f(x)=[　]$
(4)$3 \leqq x$のとき，$f(x)=[　]$

$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\cos 2\theta-(2+\sqrt{3}) \cos \theta+(1+\sqrt{3})=0$を解きなさい．

$0 \leqq \theta<\pi$のとき，方程式$\displaystyle 2 \sin^2 \left( \theta-\frac{\pi}{4} \right)+\sqrt{3} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{4} \right)-2=0$を解け．

関数$\displaystyle y=-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{x}$とおいて，関数$y$を$t$の関数に書き換えよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq x \leqq 2$における関数$y$の最大値，最小値を求めよ．

$0<\theta<\pi$における関数$y=\sin^2 \theta+\cos \theta$の最大値を考える．

(1)$t=\cos \theta$としたとき，$y$を$t$の式で表せ．また，$t$のとり得る値の範囲を示せ．
(2)$(1)$で示した範囲を$t$が変化するとき，$y$の最大値と，最大値を与える$\theta$の値を求めよ．