$a,\ b,\ c$を定数，$a>0$として，放物線$y=ax^2+bx+c$が直線$y=2x$と直線$y=-x$に接するとする．

(1)$b$の値を求めよ．
(2)$c$を$a$で表せ．
(3)この$2$直線と放物線で囲まれた図形の面積を$a$で表せ．

$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$y=x^3-3ax^2-3bx$が$x=p$と$x=q$とで極値をとるものとする．

(1)$-1 \leqq p \leqq 0$かつ$1 \leqq q \leqq 2$となるような点$(a,\ b)$の動く範囲を平面上に図示せよ．
(2)$(a,\ b)$が上の範囲を動くとき，$a+b$の最大値と最小値を求めよ．

$x$が$x \geqq 0$を満たす実数全体を動くとき，関数
\[ y=e^{-\sqrt{3}x} \sin x \]
の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

不等式
\[ x^2-x \leqq y \leqq x \]
で表される平面上の領域を直線$y=x$のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

$n$を自然数とする．

(1)等式
\[ \sum_{k=0}^n (-1)^k \comb{n}{k}=0 \]
を示せ．
(2)$k$が$0 \leqq k \leqq n$を満たす整数のとき，等式
\[ (n+1) \comb{n}{k}=(k+1) \comb{n+1}{k+1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)等式
\[ \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1} \comb{n}{k}=\frac{1}{n+1} \]
を示せ．

関数
\[ f(x)=\sin 3x+2 \cos 2x+4 \sin x \]
の区間$0^\circ \leqq x<360^\circ$における最大値，最小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．

不等式
\[ \log_7x-3 \log_x (7x) \leqq -1 \]
を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

$n$を自然数とする．

(1)不等式
\[ \left( 1+\frac{2}{n} \right)^n \geqq 3 \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)不等式
\[ (n+1)^{n-1}(n+2)^n \geqq 3^n(n!)^2 \]
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．

$\displaystyle f(x)=x^2-\frac{4}{5}$とおく．

(1)$2$次方程式$f(x)=x$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)$f(f(\alpha))$の値を求めよ．
(3)関数$f(f(x))$を求めよ．
(4)方程式$f(f(x))=x$を解け．

点$\mathrm{O}$を中心とし，長さ$2r$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円の周上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$S_1$，扇形$\mathrm{OPB}$の面積を$S_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\theta (0<\theta<\frac{\pi}{2})$とするとき，$S_1$と$S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の極限値を求めよ．