$f(x)=x^2+4ax-8a+5$とおくとき，$x$の$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつ．ただし，$a$は実数とし，$\alpha>\beta$とする．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\alpha>1$かつ$\beta<1$であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$\beta>3$であるような$a$の値の範囲を求めよ．

点$\mathrm{P}$を直線$\ell_1:y=x$上の点とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$(-1,\ 0)$，$(0,\ 1)$とする．$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．また，$\ell_2$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$とする．

(1)$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．四角形$\mathrm{OPQR}$を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

箱の中に白玉$7$個，赤玉$3$個が入っている．

(1)箱の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$つ赤玉が含まれる確率を求めよ．
(2)箱の中から$r$個の玉を同時に取り出すとき，すべて白玉である確率を$r$の式で表せ．ただし，$2 \leqq r \leqq 10$とする．
(3)少なくとも$1$つ赤玉が含まれる確率を$\displaystyle \frac{9}{10}$以上とするためには，箱の中から少なくとも何個の玉を同時に取り出す必要があるか求めよ．

数列$\{a_n\}$は初項$200$，公差$d$の等差数列であり，$\{a_n\}$の第$15$項から第$20$項までの和が$309$であるとする．$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

(1)$d$の値を求めよ．
(2)$a_n<0$となるような最小の自然数$n$を求めよ．また，$S_n$の最大値を求めよ．
(3)$b_n=S_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定義される数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．

$1$枚の硬貨を$10$回投げるとき，表がちょうど$k$回出る確率を$p_k$と表す．ただし，$0 \leqq k \leqq 10$とする．

(1)$p_0,\ p_1,\ p_2$の値をそれぞれ求めよ．
(2)表が少なくとも$3$回以上出る確率を求めよ．
(3)$p_k$が最大となる$k$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項$a$，公差$d$の等差数列とし，$a_5=108$とする．また，$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，$S_{11}>0$，$S_{12}<0$とする．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

(1)$a$を$d$を用いて表せ．
(2)$d$の値の範囲を求めよ．
(3)$a_n<0$となる最小の$n$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{5}{x^2-x-6}-\frac{4}{x-3}$を簡単にせよ．

(2)$\displaystyle -3 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，関数$f(x)=-x^2-2x+9$の最大値と最小値を求めよ．

(3)$3$直線$\ell_1:5x+y-23=0$，$\ell_2:3x-y-1=0$，$\ell_3:x-3y+5=0$があり，$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とするとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標と$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．

$1$から$9$までの整数の中から異なる$3$つの整数$a,\ b,\ c$を選ぶとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b<c$とする．

(1)$a,\ b,\ c$の積が奇数になる選び方は何通りあるか．
(2)$a,\ b,\ c$の積が$3$の倍数になる選び方は何通りあるか．
(3)$a,\ b,\ c$の積が$9$の倍数になる選び方は何通りあるか．

$0$以上の整数$n$に対して，$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{5x} \, dx$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)$I_0$の値を求めよ．
(2)$I_1$の値を求めよ．
(3)$n \geqq 1$のとき，$I_n$を$n$と$I_{n-1}$を用いて表せ．また，$I_3$の値を求めよ．

$2$次関数$y=3x^2-9x+5$のグラフを$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$y$軸に関して$C$と対称な放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(3)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$-3a-2$平行移動すると原点を通る放物線$C_1$が得られた．このとき，$a$の値と$C_1$をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(4)(3)で得られた$2$次関数の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値を求めよ．