不等式$\displaystyle -\sqrt{5} \leqq x-\frac{1}{x} \leqq \sqrt{5}$を解け．

$\angle \text{A} > 90^\circ$である$\triangle$ABCの辺AB，AC上にそれぞれ頂点と異なる点P，Qをとる．このとき，$\text{PQ}<\text{BC}$であることを証明せよ．

次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2x^2+5x-12 \geqq 0 \\
x^2-6x+7>0
\end{array}
\right. \]

次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2x^2+5x-12 \geqq 0 \\
x^2-6x+7>0
\end{array}
\right. \]

下記の空欄イ～ホにあてはまる数を記入せよ．

(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．

(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．

(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．

関数$f(x)=x^2-2px+2p-1$の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を$q$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$p>0$とする．

(1)$0<p \leqq 2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$p>2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(3)$q$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．

定数$a$に対して$f(x)=ax^2+3a$，$g(x)=2ax-a^2$とするとき，すべての実数$x$について$f(x)>g(x)$が成り立つための必要十分条件は$a>[チ]$であり，少なくとも$1$つの実数$x$について$f(x)>g(x)$が成り立つための必要十分条件は，$a>[ツ]$または$a<[テ]$である．

公正な硬貨$X$を$3$回投げる．「$1$回目に表が出る」という事象を$A$，「$3$回目に表が出る」という事象を$B$，「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象を$C$とする．このとき，
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である．

次に，硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$，裏の出る確率が$1-a$であるとする．この場合の確率を$P_a$で表すとき，
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

ただし，$[セ]$，$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$であるとき，$2 \cos^2 \theta+(\sin \theta+3 \cos \theta)^2$の最小値は$[ト]$で，最大値は$\sqrt{[ナ]}+[ニ]$である．

$x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=3$（$x>0$，$x$は実数）のとき，$\displaystyle \frac{47}{2} \left( \frac{x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}}{x+x^{-1}} \right)$の値を求めよ．