下図のように$9$個の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_4$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{C}_4$とそれらを結ぶ$16$本の線分からなる図形がある．この図形上にある物体$\mathrm{U}$は，毎秒ひとつの点から線分で結ばれている別の点へ移動する．ただし$\mathrm{U}$は線分で結ばれているどの点にも等確率で移動するとする．最初に点$\mathrm{A}$にあった物体$\mathrm{U}$が，$n$秒後に点$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$とすると，$a_0=1$，$a_1=0$である．このとき$a_n (n \geqq 2)$を求めよ．
（図は省略）

不等式
\[ |y| - |x(x-1)| \leqq 0 \]
の表す領域を$S$とする．

(1)$S$において，不等式
\[ -\frac{9}{10} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$T$とする．$T$に含まれる点$(x,\ y)$に対し，$y$の最大値は[テ]である．
(2)$S$において，不等式
\[ -\frac{1}{20} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$U$とする．領域$U$における関数$x+9y$の最大値は[ト]で，最小値は[ナ]である．

曲線$y=\log_4x$上に，その$x$座標を，それぞれ，$\displaystyle\frac{1}{2}t,\ t,\ 2t (t>0)$とする$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をとる．このとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離は$[ア]$であり，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$[イ]$である．空欄にあてはまる$t$の式を解答欄に記入せよ．

$a>0$とし，$x$-$y$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ 0)$，P$(x,\ y)$をとる．$l$を与えられた正定数として，Pが
\[ 2\text{PO}^2 + \text{PA}^2 = 3l^2 \dotnum{*} \]
をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)\maru{*}をみたすPの集合が空集合とならないための$a$の条件を求め，そのときのP$(x,\ y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．
(2)3点O,\ A,\ Pが一直線上にないようなPが存在するとき，OAを軸として，$\triangle$POAを回転して立体をつくる．この立体の体積が最大になるときのPの$x$座標と最大の体積$V$を，$a$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた体積$V$を最大とする$a$の値とそのときの最大の体積を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．\\
(i)\ $a_1 = 0$\\
(ii)\ $n=2,\ 3,\ 4,\cdots$に対し，\\
\quad \quad $a_{n-1} \geqq n$のとき，$a_n = a_{n-1} - n$\\
\quad \quad $a_{n-1} < n$のとき，$a_n=a_{n-1}+n$\\
とする．\\
次の設問に答えよ．

(1)$a_7$を求めよ．
(2)$a_k = k$のとき，条件
\[ m>k,\quad a_m=m\]
を満たす最小の整数$m$を$k$で表せ．
(3)$a_{2011}$を求めよ．

$xy$-平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b>0)$を$E$とする．$E$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$E$の法線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$s>0,\ t>0$の範囲を動くとき，$\angle \mathrm{OPQ}$が最大になる点$\mathrm{P}$を求めよ．

$a>0,\ b>0$は次の式を満たす．
\[ \begin{array}{ll}
ab-b^2+5a-2b+15=0 & \cdots\cdots① \\
a^ab^b-a^bb^a-999a^ab^a=0 & \cdots\cdots②
\end{array} \]
次の問に答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771,\ \log_{10}7=0.8451$とする．

(1)$b-a$の値を求めよ．
(2)$a$および$b$の値を求めよ．
(3)$a^{50}$は何桁の整数か．
(4)$a^{50}$の最高位の数字を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

次の各設問の$[1]$から$[8]$までの空欄と$[　]$に適当な答えを入れよ．

(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．

(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]

(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．

(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．

(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．

次の各問の$[　]$に数値を入れよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を初項が$-15$，公差が整数$d$の等差数列とする．このとき$a_4<0<a_5$ならば，$d=[1]$となり，
\[ \sum_{n=1}^5 (-1)^{n-1}na_n=[2] \]
である．
(2)$1$から$4$までの数字が，$1$つずつ書いてある$4$枚のカードがある．この中から同時に$2$枚を取り出し，大きい方の数字を$a$とし，小さい方の数字を$b$とするとき，$2a-b$を得点とする．このとき，得点の期待値は，$[3]$であり，得点が$[3]$未満となる確率は，$[4]$である．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$かつ$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，
\[ 1-\tan^2 x=3 \cos (\pi-x)+\frac{2}{\cos (\pi-x)} \]
を満たすとき，
\[ \cos x=[5],\quad \sin x=[6] \]
である．