直線$\ell_1:y=mx+3 (m>0)$が，点$\mathrm{A}(5,\ 3)$を中心とする円$C_1$に接している．その接点を$\mathrm{P}$とする．直線$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる$2$点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{QR}$の中点$\mathrm{S}$の座標を求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．

$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AB}:\mathrm{AH}=1:s (s>0)$となる点$\mathrm{H}$をとる．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線$\mathrm{OH}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき，直線$\mathrm{OH}$と直線$\mathrm{PB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)正弦定理の証明をせよ．ただし，鋭角三角形の場合だけの証明でよい．
(2)実数$x_i,\ y_i,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して次の不等式を証明せよ．ただし，$n$は自然数である．
\[ \sum_{i=1}^n x_iy_i \leqq \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \]

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)$a>0$とする．関数$y=(a-x)\sqrt{x} \ (0<x<a)$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)自然数$n$について，等式
\[ 1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，$x \neq 1$とする．
(4)$i$を虚数単位とする．等式$\displaystyle (2+3i)(5a-2i)=\frac{b}{1-i}$を満たす実数$a$と実数$b$の値を求めよ．
(5)次の不定積分を求めよ．
\[ (ⅰ) \int \frac{1}{\tan 4x} \, dx \qquad (ⅱ) \int x \sqrt{1-5x} \, dx \]

関数$f(x)=-x \log x-(1-x) \log (1-x) \ (0<x<1)$について次の問いに答えよ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$を使ってよい．

(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x),\ \lim_{x \to 1-0}f(x)$を調べ，そのグラフをかけ．
(2)定積分$\displaystyle S(p)=\int_p^{1-p}f(x) \, dx$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．
(3)極限$\displaystyle \lim_{p \to +0}S(p)$を求めよ．

関数$f(x)=\cos x-x \sin x,\ g_n(x)=(x+n \pi)\sin x-\cos x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たすすべての$x$について$\tan x>x$が成り立つことを用いてよい．

(1)すべての自然数$n$，実数$x$に対して$g_n(x)=(-1)^{n+1}f(x+n \pi)$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，方程式$g_n(x)=0$は$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲においてただ$1$つの解をもつことを示せ．
(3)(2)におけるただ$1$つの解を$x_n$とする．$x_n$は$\displaystyle 0<x_n<\frac{1}{n\pi}$を満たすことを示せ．
(4)$y_n=n\pi+x_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．定積分
\[ S_n=\int_{y_n}^{y_{n+1}}|f(x)| \, dx \]
を，$n,\ x_n$および$x_{n+1}$を用いて表せ．
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n}$を求めよ．

自然数$n$を定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる．競技者は，はじめに{\bf 試行}$1$を行う．
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ，出た目の数を$X$とする．$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する．
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば，$7$を得点として競技を終了する．
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば，{\bf 試行}$2$に進む．

\end{screen}
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる．
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする．
$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する．
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば，$7$を得点として競技を終了する．
そうでないならば，続けてさいころを投げ，(★★)にもどる．

\end{screen}
以下の問いに答えよ．

(1)$n=1$として，{\bf 試行}$1$のみを行う．得点の期待値を求めよ．
(2)$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．
(3)$n=30$とする．{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった．このとき，{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して，競技者は

\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか

どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．

座標平面上の点$(x,y)$の両座標とも整数のとき，その点を格子点という．本問では，「領域内」とはその領域の内部および境界線を含むものとする．

(1)不等式$|x|+2 |y| \leqq 4$の表す領域を$D$とする．領域$D$内に格子点は$[ノ]$個ある．
(2)$n$を自然数として，不等式$|x|+2 |y| \leqq 2n$の表す領域を$F$とする．領域$F$内の格子点の総数は
$\left( [ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \right)$個である．

$f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け：$f(x)$の増減，グラフの凹凸，$x$→$+0$，$x$→$\infty$のときの$f(x)$の挙動．
(2)$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$x$が$\displaystyle e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k$，最小値を$m_k$とし，
\[ A_n = \sum_{k=1}^n M_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
\[ B_n = \sum_{k=1}^n m_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
とおく．$A_n,\ B_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$および$\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$求めよ．
(4)各$n$に対して$\displaystyle B_n < \int_1^e f(x)\, dx < A_n$であることを示せ．

$xy$平面上にある$3$つの半直線
\[ y=0 (x \geqq 0),\quad y=x\tan \theta (x \geqq 0),\quad y=-\sqrt{3}x (x \leqq 0) \]
と，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r (r \geqq 1)$の円が交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．ただし$\displaystyle\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$である．

(1)四角形$\mathrm{OABC}$の面積が半径$1$の円に内接する正六角形の面積の$\displaystyle\frac{1}{3}$に等しいとき，$r^2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}r^2\,d\theta$を求めよ．