放物線$C:y=x^2$と直線$L:y=x-1$がある．$L$上の点$\mathrm{A}(a,\ a-1)$から$C$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C$上の点$(t,\ t^2)$における接線の方程式を$y=mx+k$とするとき，$m,\ k$を$t$の式で表せ．
(2)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$を$a$の式で表せ．
(3)放物線$C$と$2$本の接線で囲まれた図形の面積を$S(a)$とするとき，$\displaystyle \frac{S(a)}{\beta-\alpha}$を$a$の式で表せ．

関数$f(x)=x(2a-|x|)$を考える．ただし，$a$は実数である．$-1 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$g(a)$とおく．$g(a)$を$a$を用いて表し，そのグラフをかけ．

$3$次関数$f(x)$を$f(x)=x^3-4x$で定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)点$(1,\ 4)$を通る直線と$y=|f(x)|$のグラフが，$x>0$の範囲において$2$個の共有点をもつという．このような直線をすべて求めよ．ただし，直線の傾きは負とする．

関数$f(x)=ax^2+bx+c$に対して次の等式が成り立っているとする．
\[ f^\prime(x)=x \int_{-2}^1 f(t) \, dt+\int_0^1 tf^\prime(t) \, dt \]
このとき，次の問に答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で$a>0$とする．

(1)$b,\ c$を$a$で表せ．
(2)曲線$y=f(x)$の$\displaystyle x \geqq -\frac{1}{2}$の部分と$x$軸および$y$軸とで囲まれた図形の面積が$1$のとき，$a$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left( p+\frac{k}{n} \right)^2 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定める．ただし，$p$は実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)すべての実数$p$に対して，$\displaystyle a_n \geqq \frac{1}{12} \left( 1-\frac{1}{n^2} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle p=\frac{5}{3}$のとき，$a_n<5$となる最小の$n$の値を求めよ．

$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$であるような$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} (0 \leqq t \leqq 1)$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AF}:\mathrm{FD}$を求めよ．

$a$を正の定数とする．関数$f(x)=x(a-x)$，$g(x)=x^2(a-x)$に対し，$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=g(x)$を考える．以下の問いに答えよ．

ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

(1)$g(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(2)$0<a \leqq 1$とする．$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積が，$C_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積の$3$倍になるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a>1$とする．$2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれてできる$2$つの図形の面積が等しくなるとき，$a$の値を求めよ．

$a$を定数とする．放物線$C:y=x^2+a$上の点$(t,\ t^2+a) (t>0)$における接線$\ell$が原点を通るとする．直線$\ell$に関して$y$軸と対称な直線を$m$とする．

(1)$a$を$t$を用いて表せ．
(2)$y$軸と直線$\ell$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，$\tan 2\theta$を$t$を用いて表せ．
(3)直線$m$の方程式を$t$を用いて表せ．
(4)放物線$C$と直線$m$が接するとき，$t$の値を求めよ．
(5)$(4)$のとき，放物線$C$を直線$\ell$に関して対称移動した曲線を$C_1$，直線$m$に関して対称移動した曲線を$C_2$とする．$C,\ C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，曲線$y=\cos x$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V_1$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$と$\displaystyle \int x^2 \sin x \, dx$を求めよ．
(3)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V_2$を求めよ．

曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．