$-1 \leqq a \leqq 1$として，次の問に答えよ．

(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が，ただ1つの点を共有することを示せ．
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする．次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ．
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．

文字$x,\ y,\ z$の任意の整式$A$に対して，$x,\ y,\ z$をそれぞれ$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$に置き換えて得られる$\theta$の関数を$\widetilde{A}(\theta)$で表す．例えば，
\[ \begin{array}{lll}
P=x^5+z^4-xyz & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^5 \theta+\tan^4 \theta-\sin \theta \cos \theta \tan \theta, \\
P=x^2+y^2,\ Q=1 & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1=\widetilde{Q}(\theta)
\end{array} \]
である．ただし$\theta$の関数の定義域は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq 2\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$とする．

(1)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$y,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(2)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(0)=\widetilde{P}(\pi)$ならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(3)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\displaystyle \theta \to \frac{\pi}{2}$のとき，および$\displaystyle \theta \to \frac{3\pi}{2}$のとき，$\widetilde{P}(\theta)$がそれぞれ収束するならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ y$の整式$Q$が存在することを示せ．収束とは，一定の実数に限りなく近づくことである．

$xyz$空間内の3点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{R}(t,\ t^2-t+1,\ 0)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq 2$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体を$K$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$K$を$xy$平面で切ったときの断面積を求めよ．
(2)$K$の体積を求めよ．

次の条件によって定められる関数の列$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
\begin{align}
& f_0(x)=1 \nonumber \\
& f_n(x)=1-\int_0^x tf_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)-f_{n-1}(x)$は$x$についての次数が$2n$の単項式となることを示し，その単項式を求めよ．
(3)$n \geqq 1$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2} \leqq f_n(1) \leqq \frac{5}{8} \]
が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$において，$a_n$は小数第$1$位から小数第$n$位までの数字が$0$で小数第$(n+1)$位から小数第$2n$位までの数字が$9$であり，小数第$(2n+1)$位以降の数字が$0$である実数とする．ただし，$0<a_n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．また，数列$\{b_n\}$を，$b_n=10^na_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．

(i) $b_1,\ b_2,\ b_3$を求め，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$s_n$を求めよ．
(iii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n$を求めよ．

(2)当たりくじが$k$本入っている$n$本のくじがある．ただし，$n \geqq 2$とする．この中から$2$本のくじを同時に引く．

(i) 少なくとも$1$本当たる確率を，$n$および$k$で表せ．
(ii) $n=21$のとき，少なくとも$1$本当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる最小の$k$を求めよ．
(iii) $n=21$のとき，$2$本とも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以下となる最大の$k$を求めよ．

$f(x)=1-x^2$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$は$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$の範囲で動くものとする．原点と点$\mathrm{P}$の$2$点を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$2$直線$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$において，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$m$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1(a)=2S_2(a)$を満たす$a$の値を求めよ．
(4)$S_1(a)-S_2(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

円卓の周りに並べられた$n$席の座席に$m$人の人が座るとき，どの二人も隣り合わない確率を$P(n,\ m)$とする．ただし$\displaystyle 2 \leqq m \leqq \frac{n}{2}$とし，どの空席も同じ確率で選ぶものとする．

(1)$P(n,\ 2)$を$n$を用いて表せ．
(2)$P(n,\ m)$を$n,\ m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty}P(m^2,\ m)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \tan \alpha=a,\ \tan \beta=b \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき，$\cos (2 \alpha+\beta)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)1から9までの異なる整数が1つずつ書かれている9枚のカードがある．この中から4枚のカードを同時に取り出すとき，その4つの整数の和が奇数になる確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とするとき，不等式$\sin 2 \theta-\sqrt{3}\cos 2 \theta \leqq \sqrt{3}$を解け．
(2)$x,\ y$が不等式$|x-2| \leqq 2y \leqq -|x-2|+4$を満たすとき，$x^2+(y+4)^2$の最大値を求めよ．

$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{CA}=5$である直角三角形$\mathrm{ABC}$と，その内側にあって$2$辺$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$に接する円$\mathrm{O}$を考える．この円の半径を$r$とし，中心$\mathrm{O}$から$\mathrm{AB}$に引いた垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と同じ向きで大きさが$1$のベクトルを，それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{u} \ (t>0)$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求め，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HO}}$を，それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$および$t$を用いて表せ．また，円$\mathrm{O}$の半径$r$を$t$で表せ．
(3)円$\mathrm{O}$が辺$\mathrm{BC}$にも接するとき，その中心を$\mathrm{I}$とする．すなわち，$\mathrm{I}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内心である．そのときの$t$の値と，内接円$\mathrm{I}$の半径を求めよ．
(4)円$\mathrm{O}$と内接円$\mathrm{I}$が共有点をもたないような$t$の範囲を求めよ．