次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$m>0$とする．放物線$y=x^2$と放物線$y=x(m-x)$とで囲まれた図形の面積$S$を$m$で表せば，$S=[　]$．
(2)$\cos 2\theta-\cos \theta+1$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば，$(M,\ m)=[　]$．
(3)10段の階段を1段ずつ，1段飛ばし，2段飛ばしの3種類の登り方を自由に使って登ることができるものとする．このとき，10段を登る方法は全部で[　]通りある．

曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$と曲線$y=e^{-x}$が一点で交わり，交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする．次の問いに答えよ．

(1)交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき，$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき，
\[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \]
を求めよ．
(3)$X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．

$a>5$とする．円$C:x^2+(y-a)^2=25$を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は，円$C$を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積の5倍に一致している．このとき，$a$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos x}-\tan x \left( 0 \leqq x <\frac{\pi}{2} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で連続で，$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$では$g(x)=f(x)$を満たす関数とする．

\mon[(a)] $\displaystyle g \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
\mon[(b)] $g(x)$の増加，減少を調べよ．
\mon[(c)] $\displaystyle \int_0^x g(t) \, dt$を求めよ．

(2)$n$を自然数とし，$c_n$を$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}-c_n}^{\frac{\pi}{2}}g(t) \, dt=\frac{1}{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \, dt$を満たす0と$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の間の数とする．次の極限を求めよ．

\mon[(a)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(1-\cos c_n)$
\mon[(b)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}c_n$

正の整数$n$に対して，$\displaystyle S_n(x)=\int_0^x t^ne^{-t} \, dt$とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$S_{n+1}(x)$を$n,\ x$および$S_n(x)$を用いて表せ．
(2)$m$を正の整数とする．$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^{\frac{x}{m+1}}>\frac{x}{m+1}$が成り立つことを示せ．また，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x^m}{e^x}=0$となることを示せ．
(3)数学的帰納法を用いて，すべての正の整数$n$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}S_n(x)=n!$となることを示せ．

次の各問に解答しなさい．

(1)円$x^2+y^2=4$と放物線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}(2+\sqrt{2})x^2+2$との共有点の個数とすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
(2+\sqrt{2})x^2+2y \geqq 4
\end{array}
\right. \]
の表す領域$R$を図示し，領域$R$の面積を求めなさい．
(3)$x^2+y^2 \leqq 4$のとき，$(2+\sqrt{2})x^2+2y$の最大値と最小値を求めなさい．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b>0)$上に2点$\mathrm{P}(0,\ -b)$，$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$である．$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に平行な直線と$C$との交点のうち$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{R}$とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$C$の焦点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{F}$とする．(2)で求めた$\mathrm{Q}$の$x$座標と$\mathrm{F}$の$x$座標の大小を比較せよ．

座標平面上に3点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( x,\ \frac{1}{2} \right) \ (x>0)$を考える．ベクトル$t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを最小にする実数$t$の値を$t_0$とし，点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t_0 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t_0) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定まる点とする．

(1)$t_0$を$x$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{AB}$を2等分するとき，$x$の値を求めよ．
(3)$x$を動かすとき，$\triangle \mathrm{OAH}$の面積が最大になる$x$の値を求めよ．

$x,\ y$は実数とする．$x^2+y^2-1<0$ならば$x^2-2x+y^2<3$であることを示せ．

関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．

$(ⅰ)$ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$(ⅱ)$ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ．ただし，$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい．