媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

座標平面上で原点を中心とする角$\theta \ $(ラジアン)の回転移動を表す行列を$R(\theta)$とする．また，$\displaystyle 0<\theta<\pi \ \left( \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$となる$\theta$に対し，直線$y=(\tan \theta)x$に関する対称移動を表す行列を$A(\theta)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)行列$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta)$を求めよ．また，$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ．ただし，$R(\theta)^{-1}$は$R(\theta)$の逆行列である．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi \ \left( \alpha,\ \beta \neq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$A(\alpha) A(\beta)$を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$のとき，$A(\alpha)A(\beta)=A(\beta)A(\alpha)$となるための必要十分条件を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}$で，点$(\tan \alpha,\ \tan \beta)$が曲線$\displaystyle y=\frac{3x-1}{x+3}$上にあるとき，次の\maru{1}，\maru{2}に答えよ．

\mon[\maru{1}] $\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ．
\mon[\maru{2}] $A(\alpha)A(\beta)$を求めよ．

平行四辺形OABCは$\text{OA}=\text{BC}=1,\ \text{OC}=\text{AB}=r,\ \angle \text{AOC}=\theta$を満たす．ただし，$r>0$かつ$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\text{OB}^2+\text{AC}^2$は$\theta$の値によらず一定であることを示し，その値を$r$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$\text{OB}+\text{AC}$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$と置く．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{n-1} x)(\sin x)^\prime \, dx$と書きなおし，部分積分を適用して$I_n$と$I_{n-2}$の関係式を求めよ．但し$n \geqq 3$とする．
(2)$I_5$を求めよ．

次の設問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right) \ (x>0)$の逆関数を求めよ．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}\left( e^x-e^{-x} \right)$の逆関数$h(x)$を求めよ．
(3)上で求めた関数$h(x)$の導関数を求めよ．

$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)$を$f(x)=\log (e-x) \ (x<e)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$y$軸との交点をPとする．点Pにおける曲線$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$のグラフを描け．
(4)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
-x^2+4x \quad (x \leqq 0,\ x \geqq 2 \text{のとき}) \\
x^2 \qquad\qquad\;\! (0<x<2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
とする．座標平面上の曲線$C:y=f(x)$と直線$\ell:y=x$で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$S$の値を求めよ．

次のようなゲームを考える．成功の確率が$p \ (0<p<1)$，失敗の確率が$q \ (=1-p)$であるような試行をAとBの2人が行い，先に成功した方を勝ちとする．なお，Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき，ゲームはAに有利であるといい，Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき，ゲームは公平であるという．このとき，次の問に答えよ．

(1)Aから始めて，以後交互に試行を行う．すなわち，ABABAB$\cdots$という順で試行を行う．このとき，$p$の値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ．
(2)Aから始めるが，Aが1回に対して，Bは2回試行を行えるとする．すなわち，ABBABB$\cdots$という順で試行を行う．$p$がどのような値のとき，ゲームは公平になるか．
(3)(2)において，ゲームが公平であるとき，$q$についての等式$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$が成り立つことを示せ．

媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

座標平面上に点A$(2,\ 0)$をとる．円$C:x^2+y^2=1$上の任意の点P$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (0 \leqq \theta < 2\pi)$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$上に点Qを直線AQと$\ell$が直交するようにとる．ただし，直線$\ell$が点Aを通るときは，点Qは点Aであるとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)点Qの座標を，$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQを，点Pが原点Oに一致するように平行移動したとき，点Qが移動した点をR$(\theta)$とする．ただし，点Pと点Qが一致するときは，点R$(\theta)$は原点とする．このとき，点R$(\theta)$の軌跡は円になることを示し，その中心の座標と半径を求めよ．