「不等号」について
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国立 新潟大学 2011年 第4問$a,\ b,\ c,\ d$を正の実数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)不等式$\displaystyle \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2}$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{abcd} \leqq \frac{a+b+c+d}{4}$を示せ．
(3)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{ab^3} \leqq \frac{a+3b}{4}$を示せ．
(1)不等式$\displaystyle \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2}$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{abcd} \leqq \frac{a+b+c+d}{4}$を示せ．
(3)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{ab^3} \leqq \frac{a+3b}{4}$を示せ．
国立 和歌山大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{5}$であるとき，$\sin 3\theta$の値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．このとき，
\[ -2 \sin 3x-\cos 2x +3 \sin x+1 \leqq 0 \]
を満たすような$x$の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{5}$であるとき，$\sin 3\theta$の値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．このとき，
\[ -2 \sin 3x-\cos 2x +3 \sin x+1 \leqq 0 \]
を満たすような$x$の範囲を求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第2問平行四辺形OABCにおいて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問$xy$平面上に曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$がある．曲線$C$上の点P$\displaystyle \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$における接線を$\ell$とし，原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとするとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．
\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．
\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第4問放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に2点P$(2p,\ 2p^2)$，Q$(2q,\ 2q^2)$がある．ただし，$p<q$である．点Pにおける接線と点Qにおける接線の交点をA$(\alpha,\ \beta)$とする．また，放物線$C$と2直線PA，QAで囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$S$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S=9$かつ$\text{PA} \perp \text{QA}$のとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$S$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S=9$かつ$\text{PA} \perp \text{QA}$のとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{5}$であるとき，$\sin 3\theta$の値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．このとき，
\[ -2 \sin 3x-\cos 2x +3 \sin x+1 \leqq 0 \]
を満たすような$x$の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{5}$であるとき，$\sin 3\theta$の値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．このとき，
\[ -2 \sin 3x-\cos 2x +3 \sin x+1 \leqq 0 \]
を満たすような$x$の範囲を求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第2問平行四辺形OABCにおいて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第4問$f(x)=2x^2-15x+16+11 \log x$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数であり，その底は$e=2.718 \cdots$である．
(1)$x \geqq 1$のとき，$f(x)>0$であることを示せ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および2直線$x=2,\ x=3$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \log \frac{27}{4}>1.8$であることを示せ．
(1)$x \geqq 1$のとき，$f(x)>0$であることを示せ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および2直線$x=2,\ x=3$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \log \frac{27}{4}>1.8$であることを示せ．
国立 熊本大学 2011年 第1問$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目の数を$a$，$2$回目に出る目の数を$b$とする．これらの$a,\ b$に対して，実数を要素とする集合$P,\ Q$を次のように定める．
\begin{align}
& P=\{x \;|\; x^2+ax+b>0 \} \nonumber \\
& Q=\{x \;|\; 5x+a \geqq 0 \} \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$P$が実数全体の集合となる確率を求めよ．
(2)$Q \subset P$となる確率を求めよ．
\begin{align}
& P=\{x \;|\; x^2+ax+b>0 \} \nonumber \\
& Q=\{x \;|\; 5x+a \geqq 0 \} \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$P$が実数全体の集合となる確率を求めよ．
(2)$Q \subset P$となる確率を求めよ．
国立 熊本大学 2011年 第2問平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$，辺$\mathrm{DG}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{K}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
(3)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
(3)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
（図は省略）