関数$f(x)=3\sin x-\sin 3x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフは直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$に関して対称になることを示せ．
(2)$0<x<\pi$のとき，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

自然数$k$に対し，$\displaystyle a_k=\frac{(3k+1)(3k+2)}{3k(k+1)}$で与えられる数列を考える．

(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$の式で表す．
(2)数列$\{a_k\}$から$b_1=a_1,\ b_2=a_2+a_3+a_4,\ b_3=a_5+a_6+a_7+a_8+a_9,\ \cdots$のように，奇数個ずつの$a_k$の和をとり数列$\{b_k\}$を考えるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k \geqq 675$となる最小の$n$の値を求めよ．

平面上で原点Oを通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線を$\ell$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かすとき，点A$(2,\ 0)$から$\ell$へ下ろした垂線をAG，点B$(0,\ 1)$から$\ell$へ下ろした垂線をBHとし，折れ線の長さ$\text{AG}+\text{GH}+\text{HB}$を$L$とする．ただし，$\theta = 0$のときはGはAに等しく，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$のときはHはBに等しいものとする．直線$\ell$の傾きは0以上とする．

(1)$\text{GH} = 0$となるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)$L$の最小値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(3)$L$の最大値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．

曲線$C_1$は媒介変数$t$を用いて
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．また，曲線$C_2$は
\[ x=t-\sin t,\quad y=1+\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$は直線$y=1$に関して対称であることを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha \leqq \pi,\ 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，次の方程式を満たす$\alpha$と$\theta$を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2 \cos^2 \alpha-2\sqrt{2} \cos \alpha +1=0 \\
\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \cos \alpha
\end{array}
\right. \]
(2)$2$次方程式$x^2-(2a+3)x+a+2=0$の$2$つの解が$\log_2 b$と$\log_2 2b$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)次の連立不等式が表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y+2 \leqq 2x \leqq 6-y \\
2y \geqq -1
\end{array}
\right. \]
領域$D$と放物線$y=px^2-1$が共有点を持つような定数$p$の範囲を求めよ．

関数
\[ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
t \qquad\qquad (0 \leqq t \leqq \pi) \\
2\pi-t \quad \, (\pi<t \leqq 2\pi)
\end{array}
\right. \]
に対して，次のように2つの関数$g(x),\ h(x)$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義する．
\[ g(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \cos (t+x) \, dt,\quad h(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \sin (t+x) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数$y=g(x)+h(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$f(x)=e^{-x^2} \ (x \geqq 0)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$x \geqq 0$に対して，不等式$e^x>x$および$\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$および$\displaystyle \lim_{t \to +0} t \log \frac{1}{t}=0$を示せ．
(3)$f(x)$は減少関数であることを示せ．また，$y = f(x)$の逆関数$x = g(y)$を求めよ．
(4)$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．$y$軸，$y＝ f(x)$のグラフおよび直線$y = a$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(5)(4)で求めた$V(a)$に対し$\displaystyle \lim_{a \to +0}V(a)$を求めよ．

数列
{\scriptsize
\[ 1^{0.01},\ 2^{0.02},\ 2^{0.02},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 5^{0.05},\ \cdots,\ (n-1)^{\frac{n-1}{100}},\ \underbrace<30,0>{n^{\frac{n}{100}},\ \cdots,\ n^{\frac{n}{100}}}_{n個},\ (n+1)^{\frac{n+1}{100}},\ \cdots \]
}
について，以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)第36項はいくらか．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^2 \log_ex \, dx$を求めよ．
(3)第1項から第36項までのすべての項の積を$A$とする．このとき$A$の整数部分の桁数はいくらか．ただし，$2.0<\log_e8<2.1$，$2.1<\log_e9<2.2$，$2.30<\log_e10<2.31$である．

座標平面上の点$(x,\ y)$が
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(x^2+y^2)^2-(3x^2-y^2)y=0 \\
x \geqq 0 \\
y \geqq 0
\end{array}
\right. \]
で定まる集合上を動くとき，$x^2+y^2$の最大値，およびその最大値を与える$x,\ y$の値を求めよ．

関数$f(x)$は
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
x^3-3x^2+2x \quad\; (x \leqq 2 \text{のとき}) \\
x-2 \qquad\qquad\quad (x>2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されている．次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$a \leqq x \leqq a+2$での$f(x)$の最大値が$f(a+2)$と等しくなるような実数$a$の範囲を求めよ．