$xyz$空間の3点A$(5,\ 0,\ 0)$，B$(4,\ 1,\ 0)$，C$(5,\ 0,\ \sqrt{2})$が定める平面を$T$，$T$上にあって点Aを中心として半径$\sqrt{2}$をもつ円を$U$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)点Pは円$U$の周上にある．$\angle \text{PAB}=\theta \ (0 \leqq \theta <2\pi)$とするとき，Pの座標$(u,\ v,\ r)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)2点D$(10,\ 0,\ 0)$，Pを通る直線が$yz$平面と交わる点をQ$(0,\ Y,\ Z)$とする．$Y$と$Z$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)の$Y,\ Z$から$\theta$を消去して，Qの軌跡が楕円になることを示せ．また，その楕円の概形を$yz$平面上に図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$N$は自然数で$N^{10}$が$16$桁であるとする．このとき，$N^8$は何桁になるか求めよ．
(2)$\alpha$が無理数であり，$a,\ b$が有理数であるとき，
\[ a+b \alpha=0 \quad \text{ならば} \quad a=b=0 \]
であることを証明せよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$を実数とする．

(i) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを示せ．
(ii) $x+y+z=1$のとき，$x^2+y^2+z^2$の最小値を求めよ．

連立不等式$y \geqq |3x-2|,\ x-4y+8 \geqq 0$の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+2x+y^2$の最小値と，それを与える点$(x,\ y)$を求めよ．

下の図のように，$xy$平面上に，$x$軸に平行な道，$y$軸に平行な道，直線$y=-x$に平行な道があるものとする．これらの道を通って，原点Oから点A$(4,\ 4)$まで行くとき，以下の各場合に道順の総数を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）



(1)最短経路で行く場合．
(2)点B$(2,\ 2.5)$を通らずに，最短経路で行く場合．
(3)点C$(-1,\ 2)$を通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(4)道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(5)$0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$の部分だけを通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．

平面上に点Oを中心とする半径1の円$S$と$S$に内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2 \geqq 3 \]
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2=\frac{3}{2} \]
となることを示せ．
(5)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ \text{AQ}^4+\text{BQ}^4+\text{CQ}^4 \]
の値を求めよ．

$k,\ n$は自然数で$n \geqq 3$とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする \\
半径1の円を$S_1$とする．右の図のように，半径$r_1$の$n$個の \\
円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ$S_1$に内接してい \\
る．さらに，点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_2$は，半径$r_1$のすべて \\
の円に外接している．同様に，$k \geqq 2$に対して，半径$r_k$の \\
$n$個の円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ円$S_k$に内 \\
接している．さらに点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_{k+1}$は，半径$r_k$ \\
のすべての円に外接している．$S_2$の半径を$s_2$とする．以下の問に答えよ．
\img{385_2485_2011_1}{60}


(1)$r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ．
(2)半径$r_k$の1つの円の面積を$T_k(n)$とする．$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle U(n)=n \sum_{k=1}^\infty T_k(n)$とする．$U(n)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}U(n)$を求めよ．

下の図のように，$xy$平面上に，$x$軸に平行な道，$y$軸に平行な道，直線$y=-x$に平行な道があるものとする．これらの道を通って，原点Oから点A$(4,\ 4)$まで行くとき，以下の各場合に道順の総数を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）



(1)最短経路で行く場合．
(2)点B$(2,\ 2.5)$を通らずに，最短経路で行く場合．
(3)点C$(-1,\ 2)$を通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(4)道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(5)$0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$の部分だけを通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．

連立不等式$y \geqq |3x-2|,\ x-4y+8 \geqq 0$の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+2x+y^2$の最小値と，それを与える点$(x,\ y)$を求めよ．

平面上に点Oを中心とする半径1の円$S$と$S$に内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2 \geqq 3 \]
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2=\frac{3}{2} \]
となることを示せ．
(5)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ \text{AQ}^4+\text{BQ}^4+\text{CQ}^4 \]
の値を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=\log x$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．