直線$\ell_1:y=mx+3 \ (m>0)$が，点A$(5,\ 3)$を中心とする円$C_1$に接している．その接点をPとする．直線$\ell_1$と$y$軸との交点をQ，2点A，Pを通る直線$\ell_2$と$x$軸との交点をRとする．

(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる2点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように3つの線分$\mathrm{EG}$，$\mathrm{FH}$，$\mathrm{CG}$に \\
よって4つの部分に分割されている．四角形$\mathrm{AEGH}$は面積 \\
が400の正方形になり，三角形$\mathrm{FCG}$は面積が8になる． \\
このとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
\img{711_2922_2011_1}{30}

(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して \\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ． \\
（答案） \quad まず$40^2<2116<50^2$なので，$2116-40^2=516$を出す．次に516を2で割って258が出る．この258を40で割ると商が6で余りが18になる．さらに余りの18に2をかければ$36=6^2$となり商の2乗が出る． \\
最後に$40^2$と$6^2$とから$40+6=46$が得られる．以上により，求める答えは46になる．

$c$を実数とし，$a_1=c,\ a_2=c^2-2$および
\[ a_{n+2}=a_1a_{n+1}-a_n \quad (n \geqq 1) \]
で数列$\{a_n\}$を定義する．

(1)$n \geqq 1$のとき$a_{n+4}=a_2a_{n+2}-a_n$となることを示せ．
(2)$c=\sqrt{2}$のとき$a_{100}$を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とし，関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=3x-2a \sin x \cos x,\ g(x)=x^2+b \cos^2 x -b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a=3$のとき，$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a=1$のとき，$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．
(4)$x \geqq 0$において$g(x) \geqq 0$が成り立つような$b$の範囲を求めよ．

実数$a$と行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a-2 & -2a \\
4a & -2a+2
\end{array} \biggr)$がある．$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える．

条件1： 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される．
条件2： 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される．

以下の問いに答えよ．

(i) 条件1がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(ii) 条件1，条件2の両方がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $a$は$(ⅱ)$で求めた値とする．自然数$n$に対して，点R$_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする．
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする．
\end{itemize}
R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき，$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

正の実数$a$と関数$f(x)=|x^2-a^2| \ (-2a \leqq x \leqq 2a)$がある．$y=f(x)$のグラフを$y$軸のまわりに回転させてできる形の容器に$\pi a^2 (\text{cm}^3 / \text{秒})$の割合で水を静かに注ぐ．水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間を$T$(秒)とする．ただし，長さの単位はcmとする．次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さが$a^2$(cm)になったとき，容器中の水の体積を$V$(cm$^3$)とする．$V$を$a$を用いて表せ．
(3)$T$を$a$を用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\;$(cm)とする．$h$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(5)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\;$(cm/秒)とする．$v$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．

図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}

\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．

(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．

$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする．単位円上の点Pを，動径OPと$x$軸の正の部分とのなす角が$\theta$である点とし，点Qを$x$軸の正の部分の点で，点Pからの距離が2であるものとする．また，$\theta=0$のときの点Qの位置をAとする．

(1)線分OQの長さを$\theta$を使って表せ．
(2)線分QAの長さを$L$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{L}{\theta^2}$を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．

$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$の$6$つの数字を重複せずに用いて，$n$桁の整数を作る（$n \leqq 6$）．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=3$，すなわち$3$桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも$5$にならないような整数はいくつできるか．
(2)$n=4$，すなわち$4$桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも$3$にならないような整数はいくつできるか．
(3)$n=4$，すなわち$4$桁の整数で，隣り合う数字の和が$5$になる箇所が$2$つあるような整数をすべて加えるといくらになるか．