$1$辺の長さが$2$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$， \\
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
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(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ \sqrt{x^2+y^2} \geqq x+y+a\sqrt{xy} \]
が任意の正の実数$x,\ y$に対して成立するような，最大の実数$a$の値を求めよ．
(2)$0$以上$1$以下の実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して
\[ abcd \leqq \frac{4}{27} \ \text{または} \ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \leqq \frac{4}{27} \]
が成り立つことを証明せよ．

関数
\[ f(t) = \int_1^t \frac{\log x}{x+t} \, dx \quad (t>0) \]
を考える．ただし，対数は自然対数とする．

(1)この定積分を$x=ty$によって置換することにより，
\[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \]
を示せ．
(2)$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ．
(3)導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ．
(4)関数$f(t)$の極値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$を用いて，$\sin \theta+\cos \theta$を$a\sin (\theta+b)$の形に表せ．ただし，$a>0, 0 \leqq b < 2\pi$とする．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta + \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin \theta \cdot \cos \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta \cdot \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(4)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$の最大値と最小値を求めよ．

$xy$平面上の原点をOとし，放物線$y=k-x^2$を$C$とする．ただし，$k$は$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きい定数とする．$C$上の点P$(t,\ k-t^2)$が$t \geqq 0$の範囲で動くときOPの長さが最小となるPをP$_0$とおく．

(1)P$_0$の座標を求めよ．
(2)OとP$_0$を通る直線と，P$_0$における$C$の接線が直交することを示せ．
(3)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき，$k$の値を求めよ．
(4)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき，$xy$平面の第1象限にあって，$x$軸，$y$軸および放物線$C$に接する円のうち小さい方の半径を求めよ．

自然数$n$に対し
\begin{eqnarray}
& & S_n=\int_0^1 \frac{1-(-x)^n}{1+x} \, dx \nonumber \\
& & T_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)} \nonumber
\end{eqnarray}
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ \left| S_n-\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx \right| \leqq \frac{1}{n+1} \]
(2)$T_n-2S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．

原点から曲線$C:y=e^{2x}$へひいた接線と$C$との接点をP$(a,\ b)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)点$(0,\ 1)$から点Pまで曲線$C$に沿って点Qが動く．$C$の点Qにおける接線を$\ell$，点Pから$x$軸に下ろした垂線と$\ell$との交点をHとし，Qの$x$座標を$t$とする．$0 \leqq x \leqq a$の範囲で曲線$C$より下，かつ，直線$\ell$より上の部分の面積を$S(t)$とするとき，$0<t<a$における$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)不定積分$\displaystyle \int t^2e^t \, dt$を求めなさい．
(2)$x \geqq 0$で定義された関数
\[ F(x) = -x+\int_0^x (xt-t^2)e^t \, dt \]
の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．

3点O，A，Bがあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$\displaystyle |\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=2,\ \cos \angle \text{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．OAの中点をPとし，半直線AB上に$\text{AB}:\text{AH}=1:s \ (s>0)$となる点Hをとる．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．