$p,\ q$を整数とする．2次方程式$x^2+px+q=0$が異なる2つの実数解$\alpha,\ \beta \ (\alpha < \beta)$を持ち，区間$[\,\alpha,\ \beta\,]$には，ちょうど2つの整数が含まれているとする．$\alpha$が整数でないとき，$\beta-\alpha$の値を求めなさい．

$a>0$とし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．曲線$C_1$を$\displaystyle y=ax^2+n-\frac{1}{2}$，曲線$C_2$を$y=\log x$とする．$C_1$と$C_2$が共有点$(p,\ q)$をもち，この点で共通の接線をもつとする．

(1)$a$と$(p,\ q)$を$n$で表せ．
(2)$C_1,\ C_2$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_n$を$n$で表せ．
(3)(2)で求めた$S_n$に対し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_{n+1}}{S_n}$を求めよ．

ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るとする．この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，3回続けて表が出たときこの操作を終了する．自然数$n$に対し，

操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$

とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 4$のとき，$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．

曲線$C:y=e^{-x}|\sin x| \ (x \geqq 0)$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle I=\int e^{-x} \sin x \, dx,\ J=\int e^{-x} \cos x \, dx$とおく．$I,\ J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．
(2)$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．
(3)$(2n+1) \pi \leqq x \leqq 2(n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty S_k$を求めよ．

座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える．

(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．

座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える．

(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．

ふたつの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi),\quad C_2:y=\sin x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
が囲む領域を$D$とする．ただし$D$は境界を含むものとする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求め，$D$の面積を求めよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2x}+\tan x,\ g(x)=x\cos (x^2)$について以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．

$x>1$である実数$x$に対して$\displaystyle x+\frac{1}{x}=a$とおくとき，次の式を$a$を用いて表せ．

(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$
(2)$\displaystyle x-\frac{1}{x}$
(3)$\displaystyle x^3-\frac{1}{x^3}$

曲線$C:y=\log x \ (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．