$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$の導関数を$f^{\, \prime}(x)$とする．相異なる実数$p,\ q$で定まる3つの数
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$の導関数を$f^{\, \prime}(x)$とする．相異なる実数$p,\ q$で定まる3つの数
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．

次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$を用いて，$\sin \theta+\cos \theta$を$a\sin (\theta+b)$の形に表せ．ただし，$a>0, 0 \leqq b < 2\pi$とする．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta + \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin \theta \cdot \cos \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta \cdot \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(4)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$の最大値と最小値を求めよ．

$\displaystyle X=\frac{1}{4} \biggl( \begin{array}{cc}
\sqrt{6} & 2\sqrt{2} \\
5\sqrt{2} & 2\sqrt{6}
\end{array} \biggr),\ Y=\biggl( \begin{array}{cc}
-1 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & -2
\end{array} \biggr)$のとき$A=XY$とする．行列$A^n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の表す移動によって，点$(-10^8,\ \sqrt{3}\times 10^8)$が点P$_n$に移るとする．$\log_{10}2=0.3010$として，次の問いに答えよ．

(1)$A=k \biggl( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \biggr)$を満たす$k$と$\theta$を求めよ．ただし，$k>0$とし，$\theta$は$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(2)点P$_n$が中心$(0,\ 0)$，半径1の円の内部にある$n$のうちで，最小の$n$の値を求めよ．
(3)不等式$2^8 < \sqrt{x^2+y^2} < 2^{15},\ y>|\,x\,|$の表す領域を$D$とする．点P$_n$が$D$内にある$n$の値をすべて求めよ．

$\displaystyle f(x)=x\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}, g(x)=\log (1+x^2) \ (x \text{は実数})$とおく．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(2)$x>0$のとき$f(x) > g(x)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log (k^2+n^2) \right) -2\log n \right\}$の値を求めよ．

$a>1$のとき，連立不等式
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{rr}
a & -b \\
b & c
\end{array} \right)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は2次の単位行列，$O$は2次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(2)2つのベクトル$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \right)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．
(3)$A$を(2)で求めた行列とする．1個のさいころを$k+1$回投げて，出た目を順に$m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_{k+1}$とする．このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ \cdots,\ P_{k+2}$を次のように定める．
\begin{itemize}
$P_0=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right), P_1=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$
$P_{n+1}=P_n+A^{m_n}(P_n-P_{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots,\ k+1)$
\end{itemize}
さらに，ベクトル$P_1,\ \cdots,\ P_{k+1}$がすべて異なり$P_{k+2}=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$となる確率を$q_k$とする．このとき，$q_1,\ q_2,\ q_3$を，それぞれ求めよ．

放物線$C_1:y=x^2$と定点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a^2<b$）を通る放物線$C_2:y=-3x^2+2px+q$の交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\text{ただし，} \ \alpha < \beta)$とする．$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．

$A=\displaystyle \frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right)$とする．点P$_n(x_n,\ y_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{eqnarray}
& & \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right), \nonumber \\
& & \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{eqnarray}
2点F，F$^{\, \prime}$の座標をそれぞれ$(\sqrt{2},\ 0),\ (-\sqrt{2},\ 0)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)P$_n$とFの距離P$_n$Fと，P$_n$とF$^{\, \prime}$の距離P$_n$F$^{\, \prime}$の差を求めよ．
(2)2次曲線$C$で，P$_1$，P$_2$，$\cdots$，P$_n$，$\cdots$がすべて$C$上にあるような$C$の方程式を求めよ．

曲線$C:y=\log x \ (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．