「不等号」について
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国立 岩手大学 2011年 第6問$x$と$y$は不等式
\[ \log_x2-(\log_2y)(\log_xy) < 4(\log_2x-\log_2y) \]
を満たすとする．このとき，$x,\ y$の組$(x,\ y)$の範囲を座標平面上に図示せよ．
\[ \log_x2-(\log_2y)(\log_xy) < 4(\log_2x-\log_2y) \]
を満たすとする．このとき，$x,\ y$の組$(x,\ y)$の範囲を座標平面上に図示せよ．
国立 富山大学 2011年 第1問放物線$C:y=x^2-4x+3$と直線$\ell:y=mx-m$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)放物線$C$と直線$\ell$が接するときの$m$の値$m_0$を求めよ．
(2)$m>m_0$とする．放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$をそれぞれ$m$を用いて表せ．
(3)$m>m_0$における$S_2-2S_1$の最小値，およびそのときの$m$の値を求めよ．
(1)放物線$C$と直線$\ell$が接するときの$m$の値$m_0$を求めよ．
(2)$m>m_0$とする．放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$をそれぞれ$m$を用いて表せ．
(3)$m>m_0$における$S_2-2S_1$の最小値，およびそのときの$m$の値を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第3問$\displaystyle \cos \theta = \sqrt{\frac{3}{5}}$のとき
\[ a=\frac{2\sqrt{5}(\sin \theta+\cos \theta)-5\sin 2\theta}{2} \]
とおく．ただし，$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$に対して，$\displaystyle \frac{1}{a}$の分母を有理化せよ．
\[ a=\frac{2\sqrt{5}(\sin \theta+\cos \theta)-5\sin 2\theta}{2} \]
とおく．ただし，$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$に対して，$\displaystyle \frac{1}{a}$の分母を有理化せよ．
国立 鳥取大学 2011年 第1問$x>1$である実数$x$に対して$\displaystyle x+\frac{1}{x}=a$とおくとき，次の式を$a$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$
(2)$\displaystyle x-\frac{1}{x}$
(3)$\displaystyle x^3-\frac{1}{x^3}$
(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$
(2)$\displaystyle x-\frac{1}{x}$
(3)$\displaystyle x^3-\frac{1}{x^3}$
国立 岩手大学 2011年 第3問$\{a_n\}$は，初項$a_1=-1$，公差$d$の等差数列で，$\{b_n\}$は，初項$b_1=2011$，公比$r$の等比数列とする．ただし，$d \neq 0,\ r \neq 0$とする．これらの数列が
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第5問2つの曲線
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第6問$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第4問$a>1$のとき，連立不等式
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．