$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

$x$を未知数とする$3$次方程式
\[ x^3+(2t-2)x^2+(t^3-3t +2)x+1 = 0 \]
の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．$t > 0$ならば，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \leqq 0$であることを示しなさい．

だ円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1 (a > 0,\ b > 0)$の外側の点$\mathrm{P}(r,\ s)$から$C$に引いた$2$つの接線が常に直交するとき，そのような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，関数
\[ f(x) = (x-a)(e^x+e^a)-2(e^x-e^a) \]
について，$x>a$ならば，$f(x) > 0$であることを示しなさい．
(2)曲線$y = e^x$上で，$x$座標が$\displaystyle a,\ b,\ \log \frac{e^a +e^b}{2} (a < b)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$における曲線$y = e^x$の接線の傾きは，直線$\mathrm{AB}$の傾きより大きいことを示しなさい．

正の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$と自然数$n \geqq 2$に対して，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい．
\[ \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{1+a_i} > \frac{a_1 +a_2 + \cdots +a_n}{1+a_1 +a_2+\cdots+a_n} \]

次の問いに答えなさい．

(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積$S$を$a$で表し，$\displaystyle S \leqq \frac{1}{3}$であることを示しなさい．

$p$，$q$を2つの正の整数とする．整数$a$，$b$，$c$で条件
\[
-q\leqq b\leqq0\leqq a\leqq p,\quad b\leqq c\leqq a
\]
を満たすものを考え，このような$a$，$b$，$c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ．各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[
w([a,\ b\ ;\ c])=p-q-(a+b)
\]
とおく．

(1)$(p,\ q)$パターンのうち，$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ．また，$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ．\\
以下$p=q$の場合を考える．
(2)$s$を$p$以下の整数とする．$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．

$f(x) = x^3-3x^2 +x$とし，方程式$y = f(x)$が定める曲線を$K$とする．

(1)直線$y = 2x-3$と曲線$K$の$3$つの交点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$3$つの交点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$，$\mathrm{B}(b,\ f(b))$，$\mathrm{C}(c,\ f(c)) (a < b < c)$とし，曲線$K$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$をとる．$p$が$b < p < c$を満たすとき，三角形$\mathrm{BPC}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．

平面内の2つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して
\[ \overrightarrow{v} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
とおく．ただし，$\theta$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角であり，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{v}$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{x}$を，$\overrightarrow{a}$に垂直で，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{b}>0$をみたす単位ベクトルとする．このとき$\overrightarrow{x}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$の値を求めよ．