座標平面上に$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(-q,\ p)$，$\mathrm{C}(-p,\ -q)$，$\mathrm{D}(q,\ -p)$を頂点とする正方形がある．ただし，$p>0,\ q>0,\ p^2+q^2=1$とする．また，直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$が直線$x+y=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{E}(r,\ s)$，$\mathrm{F}(t,\ u)$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$の方程式を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$r,\ s,\ t,\ u$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$k= p+ q$とおくとき，$pq$を$k$の式で表せ．また，$k \leqq \sqrt{2}$を示せ．
(4)$st- ru$を$k$の式で表せ．また，$st -ru$の最小値を求めよ．
（図は省略）

定数$k$は$k > 1$をみたすとする．$xy$平面上の点A$(1,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線の第1象限に含まれる部分を，2点X，Yが$\text{AY} = k \text{AX}$をみたしながら動いている．原点O$(0,\ 0)$を中心とする半径1の円と線分OX，OYが交わる点をそれぞれP，Qとするとき，$\triangle$OPQの面積の最大値を$k$を用いて表せ．

$xy$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(1,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．

(1)$a>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}=1:a$を満たす点Pの軌跡を求めよ．
(2)$a>0,\ b>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}:\text{BP}=1:a:b$を満たす点Pが存在するための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

2つの関数を$f(x)=\sqrt{x+1} \ (x \geqq -1),\ g(x)=x^2-1 \ (x \geqq 0)$とし，$y=f(x)$と$y=g(x)$で表される曲線をそれぞれ$C_1,\ C_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の逆関数が$g(x)$であることを示せ．
(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点Pの座標を求めよ．
(3)2つの曲線$C_1,\ C_2$，および2直線$x=0,\ x=1$で囲まれた図形の面積が，(2)で求めた交点Pを通る直線により二等分されるとき，この直線の傾きを求めよ．

$a$は正の実数とし，座標平面上の直線$\ell: y = x$と放物線$C : y = ax^2$を考える．$C$上の点$\displaystyle (x,\ y) \ \bigl( \text{ただし} 0 < x < \frac{1}{a} \bigr)$で$\ell$との距離を最大にする点を$\mathrm{P}(s,\ t)$とおく．また$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を $d$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$d,\ s,\ t$をそれぞれ$a$の式で表せ．また点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線の傾きを求めよ．
(2)実数$a$を$a > 0$の範囲で動かしたとき，点$\mathrm{P}(s,\ t)$の軌跡を求め，図示せよ．

$n$人（$n \geqq 3$）でじゃんけんを$1$回行うとき，次の問いに答えよ．ただし，「あいこ」とは$1$種類または$3$種類の手が出る場合であり，勝つ人数が$0$の場合である．

(1)$1$人だけが勝つ確率を求めよ．
(2)あいこになる確率を求めよ．
(3)勝つ人数の期待値を求めよ．

$n$段の階段を上るのに，一歩で1段，2段，または3段を上ることができるとする．この階段の上り方の総数を$a_n$とおく．たとえば，$a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ a_3 = 4$である．

(1)$a_4,\ a_5$の値を求めよ．
(2)$a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2},\ a_{n+3} \ (n \geqq 1)$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)$a_{10}$の値を求めよ．

$r$は$0<r<1$を満たす実数とする．座標平面上に1辺の長さが$r^n$の正方形$R_n \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$があり，その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$，$\mathrm{D}_n$とする．さらに$R_n$は次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たすとする．

(i) 正方形$R_0$の頂点は$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{B}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{C}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{D}_0(0,\ 1)$である．
(ii) $\mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{C}_n$で，点$\mathrm{D}_{n+1}$は辺$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$上にある．

このとき以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \mathrm{A}_4$の座標を$r$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{A}_{4n}$の座標を$(x_n,\ y_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$x_{n+1}-x_n$および$y_{n+1}-y_n$を$r,\ n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を$r$を用いて表せ．

Oを原点とする$xy$平面において，直線$y = 1$の$| \, x \, | \geqq 1$を満たす部分を$C$とする．

(1)$C$上に点A$(t,\ 1)$をとるとき，線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ．
(2)点Aが$C$全体を動くとき，線分OAの垂直二等分線が通過する範囲を求め，それを図示せよ．

自然数$n$に対し，関数
\[ F_n(x) = \int_x^{2x} e^{-t^n} \, dt \quad (x \geqq 0) \]
を考える．

(1)関数$F_n(x) \ (x \geqq 0)$はただ一つの点で最大値をとることを示し，$F_n(x)$が最大となるような$x$の値$a_n$を求めよ．
(2)(1)で求めた$a_n$に対し，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log a_n$を求めよ．