「不等号」について
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国立 広島大学 2011年 第3問放物線$\displaystyle F:y=\frac{1}{2}(x+1)^2$上の点A$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を通り，Aにおける$F$の接線に垂直な直線を$\ell$とし，$\ell$と放物線$F$との交点のうち点Aと異なる方をB$\displaystyle \left( b,\ \frac{1}{2}(b+1)^2 \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式と$b$の値を求めよ．
(2)放物線$F$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$T_1$を求めよ．
(3)線分ABを直径とする円を$C$とする．このとき，不等式$\displaystyle y \leqq \frac{1}{2}(x+1)^2$の表す領域で円$C$の内部にある部分の面積$T_2$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式と$b$の値を求めよ．
(2)放物線$F$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$T_1$を求めよ．
(3)線分ABを直径とする円を$C$とする．このとき，不等式$\displaystyle y \leqq \frac{1}{2}(x+1)^2$の表す領域で円$C$の内部にある部分の面積$T_2$を求めよ．
国立 金沢大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$\displaystyle 1-\cos \frac{\pi}{2} \leqq \frac{x^2}{8}$を示せ．
(2)$\displaystyle I_n = \int_0^2 x^ne^x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$I_1$の値を求めよ．さらに，等式$I_n=2^n e^2-nI_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$I_2,\ I_3,\ I_4$および$I_5$の値を求めよ．
(4)不等式$\displaystyle \int_0^4 \left( 1-\cos \frac{x}{2} \right) e^{\sqrt{x}} \, dx \leqq -2e^2+30$を示せ．
(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$\displaystyle 1-\cos \frac{\pi}{2} \leqq \frac{x^2}{8}$を示せ．
(2)$\displaystyle I_n = \int_0^2 x^ne^x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$I_1$の値を求めよ．さらに，等式$I_n=2^n e^2-nI_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$I_2,\ I_3,\ I_4$および$I_5$の値を求めよ．
(4)不等式$\displaystyle \int_0^4 \left( 1-\cos \frac{x}{2} \right) e^{\sqrt{x}} \, dx \leqq -2e^2+30$を示せ．
国立 金沢大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．また
\[ \frac{1}{n+1} < \log (n+1) -\log n < \frac{1}{n} \]
を示せ．
(2)2以上の自然数$n$に対して
\[ \log (n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1+\log n \]
を示せ．
(3)2以上の自然数$n$に対して
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{ee^{\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{3}} \cdots e^{\frac{1}{k}}} > \frac{1}{e} \log (n+1) \]
を示せ．
(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．また
\[ \frac{1}{n+1} < \log (n+1) -\log n < \frac{1}{n} \]
を示せ．
(2)2以上の自然数$n$に対して
\[ \log (n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1+\log n \]
を示せ．
(3)2以上の自然数$n$に対して
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{ee^{\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{3}} \cdots e^{\frac{1}{k}}} > \frac{1}{e} \log (n+1) \]
を示せ．
国立 九州大学 2011年 第1問放物線$y = x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$から直線$y=x$へ垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$y=x$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，三角形$\mathrm{PRH}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$x \geqq 1$の範囲において，放物線$y = x^2$と直線$y = x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)放物線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．
(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$y=x$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，三角形$\mathrm{PRH}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$x \geqq 1$の範囲において，放物線$y = x^2$と直線$y = x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)放物線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式を証明せよ．
\[ 1-x^2 \leqq e^{-x^2} \leqq 1 \]
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^2e^{-(\frac{x}{n})^2} \; dx$を求めよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式を証明せよ．
\[ 1-x^2 \leqq e^{-x^2} \leqq 1 \]
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^2e^{-(\frac{x}{n})^2} \; dx$を求めよ．
国立 弘前大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．
(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．
国立 弘前大学 2011年 第2問不等式
\[ \log_x y \leqq \log_y x \]
の表す領域を図示せよ．
\[ \log_x y \leqq \log_y x \]
の表す領域を図示せよ．
国立 弘前大学 2011年 第3問曲線$y = x^3 +4x^2 -x$と曲線$y = x^2 +3$の3つの交点を$(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ (x_3,\ y_3)$とおく．ただし$x_1 < x_2 < x_3$とする．次の問いに答えよ．
(1)2点$(x_1,\ y_1)$と$(x_3,\ y_3)$を結ぶ直線を$L$とする．このとき，直線$L$と曲線$y = x^2+3$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(2)曲線$y = x^2 +3$上の2点$(x_1,\ y_1),\ (x_3,\ y_3)$におけるこの曲線の接線をそれぞれ$L_1,\ L_2$とする．2直線$L_1$と$L_2$の交点を通り$y$軸に平行な直線を$L_0$とする．このとき，直線$L_0$は，(1)で求めた部分$D$の面積を二等分することを示せ．
(1)2点$(x_1,\ y_1)$と$(x_3,\ y_3)$を結ぶ直線を$L$とする．このとき，直線$L$と曲線$y = x^2+3$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(2)曲線$y = x^2 +3$上の2点$(x_1,\ y_1),\ (x_3,\ y_3)$におけるこの曲線の接線をそれぞれ$L_1,\ L_2$とする．2直線$L_1$と$L_2$の交点を通り$y$軸に平行な直線を$L_0$とする．このとき，直線$L_0$は，(1)で求めた部分$D$の面積を二等分することを示せ．
国立 岩手大学 2011年 第3問数列$\{a_n\}$が
\[ a_1 =\frac{1}{2},\ a_{n+1} = \frac{(n^2 +n)a_n}{n^2 +n+a_n} \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1-a_n}{a_n}$で与えられるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めよ．
(2)(1)における$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$の一般項，および$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)不等式
\[ \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{3k+1} < \frac{1}{18} \log \frac{9n^2}{8} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$n \geqq 2$とする．
\[ a_1 =\frac{1}{2},\ a_{n+1} = \frac{(n^2 +n)a_n}{n^2 +n+a_n} \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1-a_n}{a_n}$で与えられるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めよ．
(2)(1)における$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$の一般項，および$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)不等式
\[ \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{3k+1} < \frac{1}{18} \log \frac{9n^2}{8} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$n \geqq 2$とする．
国立 岩手大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．