正数$r$に対して，$a_1=0,\ a_2=r$とおき，数列$\{a_n\}$を次の漸化式で定める．
\[ a_{n+1}=a_n+r_n(a_n-a_{n-1}) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
ただし$a_n$と$a_{n-1}$から漸化式を用いて$a_{n+1}$を決める際には硬貨を投げ，表がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{r}{2}$，裏がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{1}{2r}$とする．ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする．$a_n$の期待値を$p_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$p_3$および$p_4$を，$r$を用いて表せ．
(2)$n \geqq 3$のときに$p_n$を，$n$と$r$を用いて表せ．
(3)数列$\{p_n\}$が収束するような正数$r$の範囲を求めよ．
(4)$r$が(3)で求めた範囲を動くとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$の最小値を求めよ．

自然数$a,\ b$に対して，$a = bq+r,\ 0 \leqq r \leqq b-1$を満たす整数$q,\ r$がただ1組存在する．このとき$q$は$a$を$b$で割った商，$r$は$a$を$b$で割った余りという．自然数$a_0,\ a_1$が与えられたとき，数列$\{a_n\},\ \{q_n\}$は次の性質を満たすものとする．

\mon[(i)] $q_n$は$a_{n-1}$を$a_n$で割った商
\mon[(ii)] $\biggl( \begin{array}{c}
a_n \\
a_{n+1}
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & -q_n
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c}
a_{n-1} \\
a_{n}
\end{array} \biggr)$

ただし，$a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在すれば，$n>N$に対して$q_n$および$a_{n+1}$は定義しない．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在することを証明せよ．
(2)$a_N=aa_0+ba_1$を満たす整数$a,\ b$が存在することを証明せよ．
(3)$a_N$は$a_0$と$a_1$の最大公約数であることを証明せよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{4}{3},\ 0 \right)$，$\mathrm{C}(\cos \theta,\ -\sin \theta)$がある．ただし，$0 < \theta < \pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AC}$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の座標を$\theta$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S(\theta)$を求めよ．
(3)面積$S(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

$a$を1より大きい定数とする．$xy$平面上の点$(a \cos t,\ \sqrt{a^2-1} \sin t)$と直線$x+y = \sqrt{3}a$の距離を$f(t)$とおく．$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を$m$とする．

(1)$m$を$a$の関数として表せ．
(2)(1)で求めた$a$の関数$m$の最小値を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数とし，行列$A = \left(
\begin{array}{rr}
a & b \\
-c & -d
\end{array}
\right)$が$A^2=O$を満たすとする．ただし$O=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ d$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)次の条件をすべて満たす$x,\ y$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right), \quad x^2+y^2=b+c, \quad x>0
\]
(3)$x,\ y$は(2)で求めたもおとし，$z$は実数とする．次の等式を満たす$z$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A \left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}
\right)
\]

$a$を$1$より大きい定数とする．$xy$平面上の点$(a \cos t,\ \sqrt{a^2-1} \sin t)$と直線$x+y = \sqrt{3}a$の距離を$f(t)$とおく．$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を$m$とする．

(1)$m$を$a$の関数として表せ．
(2)(1)で求めた$a$の関数$m$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x) = a \cos^2 x+2b \cos x \; \sin x+c \sin^2 x$が定数となるための$a,\ b,\ c$の条件を求めよ．
(2)関数
\[ g(x) = 4 \cos^2 x+2 \cos x \; \sin x+ \sin^2 x -\frac{5}{2} \quad (-\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}) \]
が最大値をとる$x$の値を$\theta$とする．$\cos 2\theta,\ \sin 2\theta$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$g(x)$と$\theta$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^\theta g(x) \, dx$を求めよ．

2次関数$\displaystyle f(x) = \frac{12}{5}x^2-\frac{32}{5}x + 4$と，1次関数$g(x) = 2x- 2$が与えられている．この2つの関数$f(x)$と$g(x)$を用いて，$a \geqq 1$の範囲で$S(a)$を，以下のように定める．
\[ S(a) = \int_a^{a+1} | f(x)-g(x) | \, dx \]
このとき$S(a)$を求めなさい．

平面上で，線分ABを$1:2$に内分する点をOとし，Oを中心とする半径OBの円を$S$，円$S$と直線ABとの交点のうち点Bと異なる方をCとする．点Pは円$S$の内部にあり，線分BC上にないものとする．円$S$と直線PBとの交点のうち点Bと異なる方をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}} =\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}} =\overrightarrow{b},\ \angle \text{APB} = \theta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)点Pが円$S$の内部にあることを用いて，$\displaystyle \cos \theta < \frac{|\overrightarrow{b}|}{4|\overrightarrow{a}|}$を証明せよ．
(3)PQの長さを$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \theta$で表せ．
(4)$\text{PA}=3,\ \text{PB}=2$とする．$\triangle \text{QAB} = 3 \triangle \text{POB}$を満たすとき，$\triangle$PABの面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．不等式
\[ \frac{1}{2-\sqrt{3}} < \frac{6}{a}+\frac{k}{b} \]
を満たす$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$は定数で，$a>0$とする．2次関数$f(x)=ax^2-2x+b$の定義域を$-1 \leqq x \leqq 2$とし，$f(-1)<f(2)$を満たすとする．関数$y=f(x)$の値域が$-1 \leqq y \leqq 7$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．