$\displaystyle -\frac{1}{4}<s<\frac{1}{3}$とする．$xyz$空間内の平面$z = 0$の上に長方形
\[ R_s = \{f(x,\ y,\ 0) \; | \; 1 \leqq x \leqq 2+4s,\ 1 \leqq y \leqq 2-3s\} \]
がある．長方形$R_s$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を$K_s$とする．

(1)立体$K_s$の体積$V(s)$が最大となるときの$s$の値，およびそのときの$V(s)$の値を求めよ．
(2)$s$を$(1)$で求めた値とする．このときの立体$K_s$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体$L$の体積を求めよ．

$A_0 = \biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．整数$n \geqq 1$に対して，次の試行により行列$A_{n-1}$から行列$A_n$を定める．

「数字の組$(1,\ 1)$，$(1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(2,\ 2)$を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し，その札に書かれている数字の組が$(i,\ i)$のとき，$A_{n-1}$の$(i,\ j)$成分に1を加えた行列を$A_n$とする．」

この試行を$n$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$くり返した後に，$A_0,\ A_1,\ \cdots,\ A_{n-1}$が逆行列をもたず$A_n$は逆行列をもつ確率を$p_n$とする．

(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$n-1$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$の試行をくり返した後に，$A_{n-1}$の第1行の成分がいずれも正で第2行の成分はいずれも0である確率$q_{n-1}$を求めよ．
(3)$p_n \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．

$xy$平面上に相異なる4点A，B，C，Dがあり，線分ACと BDは原点Oで交わっている．点Aの座標は$(1,\ 2)$で，線分OAとODの長さは等しく，四角形ABCDは円に内接している．$\angle \text{AOD} = \theta$とおき，点Cの$x$座標を$a$，四角形ABCDの面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)線分OCの長さを$a$を用いた式で表せ．また，線分OBとOCの長さは等しいことを示せ．
(2)$S$を$a$と$\theta$を用いた式で表せ．
(3)$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$とし，$20 \leqq S \leqq 40$とするとき，$a$のとりうる値の最大値を求めよ．

$0<a<2\pi$とする．$0<x<2\pi$に対して
\[ F(x)=\int_x^{x+a} \sqrt{1- \cos \theta} \, d\theta \]
と定める．

(1)$F^\prime (x)$を求めよ．
(2)$F^\prime (x) \leqq 0$となる$x$の範囲を求めよ．
(3)$F(x)$の極大値および極小値を求めよ．

$n$を自然数とする．曲線$y = x^2(1-x)^n \ (0 \leqq x \leqq 1)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積を$S_n$とする．

(1)$S_n$を求めよ．
(2)$T_n = S_1 +S_2 + \cdots + S_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．

$f(x) = e^{-x^2}$とする．曲線$y = f(x)$上の点A$(a,\ f(a))$における接線を$\ell$，原点$\mathrm{O}$を通り$\ell$に垂直な直線を$\ell^\prime$とし，$\ell$と$\ell^\prime$との交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
(2)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とする．$\sin \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\sin \theta$を最大にする$a$の値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．

$a$を自然数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
1 & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．

(1)$r>0$および$0 \leqq \theta < 2\pi$を用いて$A=\left( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{Q}_n (n = 1,\ 2,\ 3)$を
\[ \mathrm{Q}_1 = \mathrm{Q},\quad \mathrm{Q}_{n+1} = f(\mathrm{Q}_n) \]
で定める．$\triangle \mathrm{OQ}_n \mathrm{Q}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ．
(3)$f$によって点$(2,\ 7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという．自然数$a$の値を求めよ．またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし$0.3 < \log_{10}2 < 0.31$を用いてよい．

実数$\theta$が動くとき，$xy$平面上の動点P$(0,\ \sin \theta)$およびQ$(8 \cos \theta,\ 0)$を考える．$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，平面内で線分PQが通過する部分を$D$とする．$D$を $x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2 +q$とおく．

(1)放物線$y = f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y = x$の$x > 0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1)$，$(p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x) = (x-p_1)^2 + q_1$および$f_2(x) =(x-p_2)^2 +q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \ $(ただし$\alpha < \beta$)に対して
\[ f_1(\alpha) < f_2(\alpha) \quad \text{かつ} \quad f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R : 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y = f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y = f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の定数とし，$x$の関数$f(x) = x^3 +ax^2 +bx+c$を考える．以下，定数は全て実数とする．

(1)定数$p,\ q$に対し，次をみたす定数$r$が存在することを示せ．
\[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad |px+q| \leqq rx \]
(2)恒等式$(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=\alpha^3-\beta^3$を用いて，次をみたす定数$k,\ l$が存在することを示せ．
\[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad \left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k \right| \leqq \frac{l}{x} \]
(3)すべての自然数$n$に対して，$\sqrt[3]{f(n)}$が自然数であるとする．このとき関数$f(x)$は，自然数の定数$m$を用いて$f(x)=(x+m)^3$と表されることを示せ．