次の空欄$[サ]$から$[ニ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$x$が範囲$0 \leqq x<2\pi$を動くとき，$x$の関数$f(x)=2 \sin x+\cos 2x+1$を考える．
$X=\sin x$とおき，$f(x)$を$X$の関数と見て$g(X)$と書くと，
\[ g(X)=[サ]X^2+[シ]X+[ス] \]
と書ける．
$x$は$0 \leqq x<2\pi$を動くから，$X$は$[セ] \leqq X \leqq [ソ]$を動くが，この範囲では，グラフの形より，$g(X)$は$X=[タ]$のとき最小値$[チ]$をとり，$X=[ツ]$のとき最大値$[テ]$をとる．
したがって，$f(x)=2 \sin x+\cos 2x+1$は$x=[ト]$のとき最小値$[チ]$をとり，$x=[ナ]$または$[ニ]$のとき最大値$[テ]$をとる．

次の空欄$[ハ]$から$[マ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点
\[ \mathrm{A} \left( \frac{1}{a},\ 0,\ 0 \right),\quad \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{b},\ 0 \right),\quad \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{c} \right) \]
$(a,\ b,\ c>0)$をとる．平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+u \overrightarrow{\mathrm{AC}}$（$t,\ u$は定数）とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ハ],\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ヒ] \]
となる．
したがって，$\mathrm{OH}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとすると，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( [フ],\ [ヘ],\ [ホ] \right) \]
となる．また，このとき$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[マ]$となる．

関数$\displaystyle f(x)=\cos \frac{x^3-2x^2-4x+5}{3}$の$-1 \leqq x \leqq 3$における増減表を作り，最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．

区間$[-1,\ 1]$で，曲線$y=|x|e^{|x|}$と直線$\ell:y=a (0 \leqq a \leqq e)$の間にある部分の面積を$S$とする．

(1)曲線$y=xe^x (x \geqq 0)$と$\ell$の交点の$x$座標を$t$とし，$S$を$t$の式で表せ．
(2)$S$の最大値と最小値，およびそれらをとる$a$の値を求めよ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が袋の中から玉を$1$つずつ交互に取り出すゲームを考える．最初に玉を取り出すのは$\mathrm{A}$で，また$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はともに取り出した玉を袋に戻さない．

(1)初め袋の中には白玉が$(2n-2)$個（$n \geqq 1$），赤玉が$2$個入っているとする．$2$つ目の赤玉を取り出した方を勝ちとして終了するとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．
(2)初め袋の中には白玉が$(2n-3)$個（$n \geqq 2$），赤玉が$2$個，黒玉が$1$個入っているとする．次の$(ⅰ)$と$(ⅱ)$にしたがって勝敗を決めるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(i) 一方が黒玉を取り出したときは，他方を勝ちとして終了する．
(ii) 一方が$2$つ目の赤玉を取り出したときは，その者を勝ちとして終了する．

$m_1,\ m_2,\ p$は定数で$m_1<m_2$とする．放物線$C:y=x^2-x$が$2$つの直線$\ell_1:y=m_1x-1$，$\ell_2:y=m_2x-1$に接するとき，次の問いに答えよ．

(1)$m_1,\ m_2$の値を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2-p)$を通る$C$の接線$\ell$の方程式を$y=ax+b (m_1<a<m_2)$とする．$p$を用いて，定数$a,\ b$を表せ．
(3)$\ell$と$\ell_1$の共有点を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\ell$と$\ell_2$の共有点を$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さが最小となるときの$p$の値を求めよ．

$a$は定数で$a>1$とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{a}{1+(a-1)e^{-x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)不等式$0<f(x)<a$が成り立つことを示せ．また，極限$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$および$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ．
(2)$a=3$のとき，$y=f(x)$のグラフの概形を，極値および変曲点を調べてかけ．
(3)$p$は定数で$p<0$とする．$a=3$のとき，定積分$\displaystyle I(p)=\int_p^0 f(x) \, dx$を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{p \to -\infty}I(p)$を求めよ．

$x+y+z=n$（$n$は正の整数）をみたす正の整数の組$(x,\ y,\ z)$について，次の問いに答えよ．

(1)$n=19$のとき，$(x,\ y,\ z)$の組は何通りあるか．そのうち，$x,\ y,\ z$のいずれか$2$つが等しい組，$x \leqq y \leqq z$をみたす組はそれぞれ何通りあるか．
(2)$n$が$6$の倍数であるとき，$x \leqq y \leqq z$をみたす$(x,\ y,\ z)$の組は何通りあるか．

円$x^2+(y-a)^2=r^2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ r$は正の実数とする．

(1)$a \geqq r$のとき，$V(a)$を求めよ．
(2)$0<a<r$とする．

(i) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\sin \theta<\theta<\tan \theta$が成り立つ．このことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{(r+a) \sqrt{r^2-a^2}}{2}<\int_0^{\sqrt{r^2-a^2}} \sqrt{r^2-x^2} \, dx<\frac{(r^2+a^2) \sqrt{r^2-a^2}}{2a} \]
(ii) $(ⅰ)$の結果を用いて，
\[ \frac{2\pi (a-r)(a+r) \sqrt{r^2-a^2}}{3}<V(a)-2\pi^2ar^2<\frac{2\pi (a-r)(a-2r) \sqrt{r^2-a^2}}{3} \]
が成り立つことを示せ．

座標空間に，一辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を
\[ \mathrm{AP}=\mathrm{CQ}=ta (0<t<1) \]
となるようにとる．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$の内積を求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{QA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QB}}$の内積を求めよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$の長さを求めよ．