$A,\ B,\ C$を$A>B>C>0$をみたす定数とする．$3$つの$2$次方程式
\[ Ax^2-2Bx+C=0,\quad -2Bx^2+Cx+A=0,\quad Cx^2+Ax-2B=0 \]
が共通の実数解$\gamma$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)$B$を$A$と$C$を用いて表せ．
(2)$Ax^2-2Bx+C=0$の$2$つの解を$\alpha_1,\ \beta_1$とする．$\alpha_1>\beta_1$とするとき，$\alpha_1$の値を求めよ．また，$\beta_1$を$A$と$C$を用いて表せ．
(3)$Cx^2+Ax-2B=0$の$2$つの解を$\alpha_2,\ \beta_2$とする．$\alpha_2>\beta_2$とするとき，$\alpha_2$の値を求めよ．また，$\beta_2$を$A$と$C$を用いて表せ．
(4)$-2Bx^2+Cx+A=0$の$\gamma$と異なる解$\theta$を$A$と$C$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$を中心とし，${150}^\circ$だけ回転すると，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$(7,\ \sqrt{3})$に移った．$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x \geqq 0$と自然数$n$に対して，$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n \sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．一方，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ．
(3)さいころを$3$回続けて投げたとき，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ．また，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ．
(4)$\cos \theta=\sin^2 \theta$のとき，$\alpha=(1+\cos \theta)\cos \theta$と$\beta=\sin^8 \theta+2 \sin^6 \theta+3 \sin^4 \theta+2 \sin^2 \theta$の値を求めよ．

定数$a,\ b,\ c$に対して，$y=2x^{-a}$，$z=cx^{ab}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$1 \leqq x \leqq 2$，$a>0$，$c>0$とする．

(1)$z$を$y,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$s=\log_2y$，$t=\log_2z$とおく．定数$A$と$B$を用いて$t=As+B$と表したとき，$A$を$b$を用いて表せ．また，$B$を$b$と$c$を用いて表せ．
(3)$A=-3$，$B=8$のとき，$b$と$c$の値を求めよ．
(4)$A=-3$，$B=8$とする．$\displaystyle w=\frac{y}{z}$の$1 \leqq x \leqq 2$における最小値が$\displaystyle \frac{1}{32}$となるとき，$a$の値を求めよ．

曲線$C_1:y^2=4px$と$C_2:x^2-y^2=-q$（ただし，$p>0$，$q>0$）の二つの曲線が接するとき，次の問いに答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．また接点の座標を$p$を用いて表せ．
(2)$\sqrt{x^2+q}+x=t$と置いたとき$x$を$t$で表せ．また不定積分$\displaystyle I=\int \sqrt{x^2+q} \, dx$を$x$から$t$への置換積分により，$t$の関数として求めよ．
(3)曲線$C_1$，$C_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$p$で表せ．

直線$\ell:y=-2x \log_2 a$と放物線$C:y=x^2+b^2$がある．ただし$a>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b=\log_35$とする．$C$と$\ell$が接するとき，$a$の値を求め，$a<3$であることを示せ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a,\ b$の満たす条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれる領域の面積$S$が$\displaystyle S=\frac{(a-b)^3}{6}$で表されることを示せ．
(3)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle S=\frac{4}{3}$となるように放物線上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．

$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(\sqrt{3},\ -1)$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．

$a$を定数とし，$f(x)=x^5-5x^3+ax$とする．方程式$f(x)=0$は異なる$5$つの実数解をもち，これらを$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$とする．この$5$つの解は等差数列をなしており，その総和は$0$である．次の問に答えなさい．

(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．

実数$t$を$0<t \leqq 1$とし，図$1$の斜線部分の図形$A$の面積を$S(t)$で表す．次の問に答えなさい．

(1)$S(t)$を$t$の式で表しなさい．
(2)図$2$，図$3$を参考にして，不等式
\[ (1-\sqrt{t})^2 \leqq S(1)-S(t) \leqq (1-t)^2 \]
が成り立つことを示しなさい．
(3)(2)の不等式を参考にして，不等式
\[ 2(t-\sqrt{t}) \leqq t \log t \leqq t(t-1) \]
が成り立つことを示しなさい．
（図は省略）

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2x$の定義域を$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$とする．次の問に答えなさい．

(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲と$f^\prime(x)>0$となる$x$の範囲を，それぞれ求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形を書きなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^\pi |f(x)| \, dx$の値を求めなさい．