「不等号」について
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公立 高崎経済大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
公立 高崎経済大学 2012年 第3問以下の各問に答えよ．
(1)$a>0,\ b>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)$2\log_{10}u+\log_{10}v=1$とする．$u^3+uv^2$の最小値とそのときの$u,\ v$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面がある．この平面上に(2)で求めた$u,\ v$からなる点$\mathrm{A}(u,\ v)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$と$30^\circ$の角をなす直線の方程式をすべて求めよ．
(1)$a>0,\ b>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)$2\log_{10}u+\log_{10}v=1$とする．$u^3+uv^2$の最小値とそのときの$u,\ v$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面がある．この平面上に(2)で求めた$u,\ v$からなる点$\mathrm{A}(u,\ v)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$と$30^\circ$の角をなす直線の方程式をすべて求めよ．
公立 大阪府立大学 2012年 第1問サイコロを$n$回ふって，数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$を次のように定める．ただし，$n \geqq 3$とする．
(i) $1$回目に$1$の目が出たときは$a_1=0$，それ以外の目が出たときは，$a_1=1$とする．
(ii) $k$回目に$1$の目が出たときは，$a_k=0$とする．
(iii) $k$回目に$6$の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+k$とする．
\mon[$\tokeishi$] $k$回目に$1$と$6$以外の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+1$とする．
自然数$k (1 \leqq k \leqq n)$に対して，$a_k=k$となる確率を$p_k$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_k (2 \leqq k \leqq n)$を$p_{k-1}$を用いて表せ．
(3)$p_k (1 \leqq k \leqq n)$を$k$の式で表せ．
(i) $1$回目に$1$の目が出たときは$a_1=0$，それ以外の目が出たときは，$a_1=1$とする．
(ii) $k$回目に$1$の目が出たときは，$a_k=0$とする．
(iii) $k$回目に$6$の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+k$とする．
\mon[$\tokeishi$] $k$回目に$1$と$6$以外の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+1$とする．
自然数$k (1 \leqq k \leqq n)$に対して，$a_k=k$となる確率を$p_k$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_k (2 \leqq k \leqq n)$を$p_{k-1}$を用いて表せ．
(3)$p_k (1 \leqq k \leqq n)$を$k$の式で表せ．
公立 県立広島大学 2012年 第1問$k$を定数とする．関数$f(\theta)=\cos 2\theta+4k \sin \theta+3k-3$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \pi \right),\ f \left( \frac{3}{2} \pi \right)$を求めよ．
(2)$x= \sin \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表せ．
(3)$-1 \leqq k \leqq 1$のとき，$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(4)すべての$\theta$に対して常に$f(\theta) \leqq 0$となる$k$の値の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \pi \right),\ f \left( \frac{3}{2} \pi \right)$を求めよ．
(2)$x= \sin \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表せ．
(3)$-1 \leqq k \leqq 1$のとき，$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(4)すべての$\theta$に対して常に$f(\theta) \leqq 0$となる$k$の値の範囲を求めよ．
公立 県立広島大学 2012年 第2問直線$\ell:(1+\sqrt{3})x+(1-\sqrt{3})y=4$が，曲線$C:x^2+y^2=r^2 \ (r>0,\ x \geqq 0)$に接する．次の問いに答えよ．
(1)$r$の値を求めよ．
(2)点A$(a,\ 1)$が直線$\ell$上の点であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた点Aから曲線$C$に引いた$\ell$以外の接線$m$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$と2つの接線$\ell,\ m$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$r$の値を求めよ．
(2)点A$(a,\ 1)$が直線$\ell$上の点であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた点Aから曲線$C$に引いた$\ell$以外の接線$m$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$と2つの接線$\ell,\ m$で囲まれた図形の面積を求めよ．
公立 県立広島大学 2012年 第3問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\ a_{n+1}=a_n-\log_5 2^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$5^{a_n} < 10^{-14}$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
\[ a_1=1,\ a_{n+1}=a_n-\log_5 2^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$5^{a_n} < 10^{-14}$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
公立 岡山県立大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$が成り立つとき，次の問いに答えよ．
(i) $(a+b)(b+c)(c+a)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \frac{1}{a^7}+\frac{1}{b^7}+\frac{1}{c^7}=\frac{1}{a^7+b^7+c^7}$が成り立つことを示せ．
(2)$a,\ b,\ c$が正の数で，$a \neq 1,\ c \neq 1$のとき，次の等式が成り立つことを示せ．$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$
(3)不等式$9^x+3^{x+1}-4 \leqq 0$を解け．
(1)$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$が成り立つとき，次の問いに答えよ．
(i) $(a+b)(b+c)(c+a)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \frac{1}{a^7}+\frac{1}{b^7}+\frac{1}{c^7}=\frac{1}{a^7+b^7+c^7}$が成り立つことを示せ．
(2)$a,\ b,\ c$が正の数で，$a \neq 1,\ c \neq 1$のとき，次の等式が成り立つことを示せ．$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$
(3)不等式$9^x+3^{x+1}-4 \leqq 0$を解け．
公立 岡山県立大学 2012年 第2問五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{3\pi}{4}$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$が成り立つとする．$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{AC}$を$m:1-m$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0<m<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$で表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BOP}$を求めよ．
(3)$\displaystyle m \neq \frac{1}{4}$のとき，三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$で表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BOP}$を求めよ．
(3)$\displaystyle m \neq \frac{1}{4}$のとき，三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めよ．
公立 愛知県立大学 2012年 第3問$a$を，$a>0$かつ$a \neq 1$を満たす実数とし，
\[ F_a(x) = \int_0^x a^t \sin 2\pi t \, dt \quad (0 \leqq x \leqq 1) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)次式が成り立つことを示せ．
\[ F_a(x)=\frac{2\pi+a^x \{ (\log a) \sin 2\pi x - 2\pi \cos 2\pi x \}}{4\pi^2+(\log a)^2} \]
(2)$F_a(x)$の最大値を，$a$を用いて表せ．
\[ F_a(x) = \int_0^x a^t \sin 2\pi t \, dt \quad (0 \leqq x \leqq 1) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)次式が成り立つことを示せ．
\[ F_a(x)=\frac{2\pi+a^x \{ (\log a) \sin 2\pi x - 2\pi \cos 2\pi x \}}{4\pi^2+(\log a)^2} \]
(2)$F_a(x)$の最大値を，$a$を用いて表せ．
公立 岡山県立大学 2012年 第3問$a$を実数とし，$f(x)=2x^3-3(a^2+a)x^2+6a^3x$とおく．次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(2a,\ f(2a))$における接線が，点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$において曲線$y=f(x)$と交わるとき，$a$が満たす条件を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．
(2)$0<a<1$のとき，$f(x)$の極大値と極小値の差を$g(a)$とおく．$g(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(2a,\ f(2a))$における接線が，点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$において曲線$y=f(x)$と交わるとき，$a$が満たす条件を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．
(2)$0<a<1$のとき，$f(x)$の極大値と極小値の差を$g(a)$とおく．$g(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．