三角形ABCの頂点A，B，Cは反時計回りに並んでいるものとする．点Pはいずれかの頂点の位置にあり，1枚の硬貨を1回投げるごとに，表が出れば時計回りに隣の頂点へ，裏が出れば反時計回りに隣の頂点へ，移動するものとする．点Pは最初，頂点Aの位置にあったとする．硬貨を$n$回投げたとき，点Pが頂点Aの位置に戻る確率を$a_n$で表す．次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$に対し$a_n$を$a_{n-1}$を用いて表せ．
(2)$a_n$を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で二つの曲線$y=\sin x$と$y= k \cos x$を考える．ただし，$k>0$とする．この二つの曲
線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta\ (0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\pi)$とし，$\alpha \leqq x \leqq \beta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k$と$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$S=4$のとき，$\alpha \leqq x \leqq \theta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積が2となるような$\theta$の値を求めよ．

$|a^2 - 2b^2|=1$をみたす整数$a,\ b$によって，$\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$と表される2次の正方行列全体の集合を$U$とする．このとき，$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$に対して，$f(A)=a+\sqrt{2}b$とおく．次の問いに答えよ．

(1)二つの行列$A$と$B$が$U$に属するならば，積$AB$も$U$に属することを示し，さらに$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを示せ．
(2)$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$について，$f(A) \geqq 1$ならば，$-1 \leqq a-\sqrt{2}b \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(3)$U$に属する行列$A$について，$1 \leqq f(A) < 1+\sqrt{2}$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．
(4)$U$に属する行列$A$について，$1+\sqrt{2} \leqq f(A) < (1+\sqrt{2})^2$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0,\ b>0)$上の点P$(x_0,\ y_0) (0 < x_0 < a,\ y_0>0)$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれA，Bとする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \frac{\ x_0^2 \ }{a^2}=t$とおくとき，線分ABの長さ$\overline{AB}$を$a,\ b,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$0<x_0<a$における$\overline{AB}$の最小値を求めなさい．また，そのときのPの座標を求めなさい．

$P$は正$n$角形$(n \geqq 6)$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$P$の異なる2本の対角線の組で，$P$の頂点を共有するものは何通りあるか求めなさい．
(2)$P$の異なる2本の対角線の組で，$P$の頂点以外の点を共有するものは何通りあるか求めなさい．
(3)$P$の異なる2本の対角線の組で，共有点を持たないものは何通りあるか求めなさい．

$e$は自然対数の底とする．$f(x)=x \log x$（$x>0,\ \log x$は$x$の自然対数）とおく．$t>e$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$における接線の傾きが$\log t$となるとき，$\mathrm{A}$の$x$座標$a(t)$を求めなさい．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a(t)$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t \to \infty$のとき，$\displaystyle \frac{S(t)}{t^p \log t}$が$0$でない値に収束するような正の定数$p$の値を求めなさい．また，そのときの$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t^p \log t}$を求めなさい．

$x$の$2$次方程式$x^2-2x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha < \beta)$とし，正の整数$n$に対して
\[ x_n = \frac{\beta^n - \alpha^n}{2\sqrt{2}} \]
とおく．次の各問に答えよ．

(1)$x_1,\ x_2$を求めよ．
(2)$x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)$x_{3n}$は$5$の倍数であることを証明せよ．

次の各問に答えよ．

(1)$0<x<\pi$において，方程式$\sin x -x \cos x-1=0$はただ1つの実数解$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$をもつことを証明せよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{x+\cos x}{\sin x}$の$0<x<\pi$における最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$a$を定数とする．方程式$x+\cos x-a \sin x=0$の$0<x<\pi$における異なる実数解の個数を求めよ．

$2$つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \quad (\text{定義域は}-\pi<x<\pi) \nonumber \\
& & g(x)=\int_0^x \frac{2}{1+t^2} \, dt \quad (\text{定義域は実数全体}) \nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数$h(x)=g(f(x))$を考える．次の各問に答えよ．

(1)$f(x),\ g(x),\ h(x)$のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)$h(x)$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2+\sqrt{3}}} \frac{2}{1+t^2} \, dt$の値を求めよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=x^2+\int_{-1}^1 f(t) \, dt$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上に2つの点P，Qがある．Pの$x$座標を$a$，Qの$x$座標を$b$とする．ただし，$a<b$とする．Pにおける$C$の接線と直交しPを通る直線を$\ell$，Qにおける$C$の接線と直交しQを通る直線を$m$，PとQを通る直線を$n$とする．$\ell$と$m$の交点をRとする．$\displaystyle \angle \text{PRQ}=\frac{\pi}{2}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle f(x)=x^2+\int_{-1}^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．
(2)Rの$x$座標を$a$を用いて表せ．
(3)Rが$y$軸上にあるとき，$n$および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．