次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$の小数部分を$a$とするとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の値を求めよ．
(2)$4<\sqrt{2x^2}<7$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta+\cos \theta+\tan \theta$の値を求めよ．
(4)対角線の差が$4 \, \mathrm{cm}$で，面積が$96 \, \mathrm{cm}^2$のひし形がある．このひし形の$1$辺の長さを求めよ．
(5)$5^{4 \log_5 2}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$の小数部分を$a$とするとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の値を求めよ．
(2)$4<\sqrt{2x^2}<7$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta+\cos \theta+\tan \theta$の値を求めよ．
(4)対角線の差が$4 \, \mathrm{cm}$で，面積が$96 \, \mathrm{cm}^2$のひし形がある．このひし形の$1$辺の長さを求めよ．

$x$の方程式について次の問いに答えよ．

(1)$x$の方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+bx+1=0$が解を$1$個だけ持つ条件を求めよ．
(2)$x$の方程式$\sin x=a (0 \leqq x<2\pi)$が解を$1$個だけ持つ条件を求めよ．
(3)$x$の方程式$\displaystyle \frac{1}{2} \sin^2 x+b \sin x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$が解を$1$個だけ持つ条件を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．次の図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ$x$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{ABE}$，$\triangle \mathrm{BCF}$，$\triangle \mathrm{CDG}$，$\triangle \mathrm{DAH}$を正方形から切り取り，残りを図の$4$本の線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$，$\mathrm{GH}$，$\mathrm{HE}$にそって折り曲げて，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が$1$点になるように辺を合わせて四角錐を作るとする．ただし，$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．

曲線$C:y=2x^2 (x>0)$上の点$\mathrm{P}_1(x_1,\ 2{x_1}^2)$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$x_2$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}_2(x_2,\ 2{x_2}^2)$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$x_3$とし，曲線$C$上に点$\mathrm{P}_3(x_3,\ 2{x_3}^2)$を定める．以下，同様に曲線$C$上の点$\mathrm{P}_3,\ \mathrm{P}_4,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1},\ \mathrm{P}_n$における接線と$x$軸が交わる点の$x$座標を$x_4,\ x_5,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$とする．$x_1=1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_1$および点$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_n(x_n,\ 2{x_n}^2)$における接線と$x$軸との交点の$x$座標$x_{n+1}$を$x_n$で表せ．
(3)$x_n$を$n$の式で表せ．

関数$f(x)=x^2e^{-x}$に対し，以下の設問に答えよ．ここで$e$は自然対数の底を表す．

(1)$x \geqq 0$における$f(x)$の最大値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．

不等式$a \cos^2 x+8 \cos x+1 \geqq 0$が$x$の値によらず常に成り立つような$a$の最小値を求めよ．

次の空欄を埋めなさい．

(1)不等式$|x^2-4x-5|<x+1$を満たす$x$の範囲は$[ア]$である．
(2)不等式$-2<\log_{0.1}x<2$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(3)$4$次方程式$x^4+3x^2+4=0$の解は$[ウ]$である．

$2$次方程式$x^2-4x+1=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．

(1)次の積分
\[ \int_{\alpha}^{\beta} |x^2-4x+1| \, dx \]
の値を求めなさい．
(2)次の積分
\[ \int_0^5 |x^2-4x+1| \, dx \]
の値を求めなさい．

次の数の大小を比べ，空欄に不等号を入れなさい．

(1)$\sqrt[3]{16} \ [ア] \sqrt[4]{32}$
(2)$\log_3 10 \ [イ] \log_9 90$
(3)$2 \ [ウ] \log_3 5+\log_5 3$