次の問いに答えよ．

(1)関数$f(t)=2t^3-3t^2+1 (0 \leqq t \leqq 1)$の最小値を求めよ．
(2)$(1)$を利用して，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$2 \cos^3 x-3 \cos^2 x+1>0$となることを示せ．
(3)関数$g(x)=\tan x+2 \sin x-3x$を微分せよ．
(4)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan x+2 \sin x>3x$となることを示せ．

関数$f(x)=x \sqrt{1-x} (0 \leqq x \leqq 1)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

放物線$y=-x^2+1$上の点$(\alpha,\ -\alpha^2+1)$における接線を$\ell_1$とし，点$(\beta,\ -\beta^2+1)$における接線を$\ell_2$とする．ただし，$\alpha<0<\beta$で$\beta-\alpha=c$（一定）とする．

(1)接線$\ell_1$と$y$軸および放物線で囲まれる部分の面積$S_1$を$\alpha$で表せ．
(2)接線$\ell_2$と$y$軸および放物線で囲まれる部分の面積$S_2$を$\beta$で表せ．
(3)面積の和$S_1+S_2$が最小となるときの$\alpha,\ \beta$とそのときの最小値を$c$で表せ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)${(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3$を展開すると$[$1$]$になる．
(2)$-1<a<0<b<c$とするとき，
\[ -\frac{a}{c},\ \frac{a}{c},\ \frac{1}{ac},\ -\frac{1}{ab},\ -\frac{1}{ac} \]
の$5$つの数のうち，小さい方から$2$番目の数は$[$2$]$であり$4$番目の数は$[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta<\frac{3\pi}{2}$のときに
\[ 2 \sin^3 \theta-\sin \theta=0 \]
の解をすべて記すと$[$4$]$である．
(4)$a,\ b$を定数とする$x$に関する$3$次方程式
\[ 2x^3+ax^2+bx-10=0 \]
の$2$つの解が$x=1,\ 2$であるとき，$a=[$5$]$，$b=[$6$]$であり，もう$1$つの解は$[$7$]$である．
(5)$\mathrm{P}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{L}$の文字が$1$つずつ刻まれているタイルが$6$枚ある．これらを横$1$列に並べるとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$より左で，かつ，$\mathrm{N}$が$\mathrm{E}$より右となる確率は$[$8$]$である．
(6)$a$を定数とする方程式$x^3-6x^2-a=0$の異なる実数解は，$a$の値が$[$9$]$の場合には$3$個，$[$10$]$または$[$11$]$の場合には$2$個，$[$12$]$または$[$13$]$の場合には$1$個，それぞれ存在する．
(7)$\alpha$を実数として，空間における原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(-1,\ \alpha,\ \alpha)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ \alpha)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を最小にする$\alpha$の値は$[$14$]$であり，このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$[$15$]$である．
(8)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$における接線上に$\mathrm{AB}=2$となる点$\mathrm{B}$をとる．次に，点$\mathrm{B}$から$\mathrm{BC}=2$となるように円周上に点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$[$16$]$であり，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[$17$]$である．
（図は省略）

自然数$n$に対して，$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す．たとえば$6$以下の自然数で，$6$との最大公約数が$1$であるものは，$1$，$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である．$f(1339)$について考える．$1339$の素因数分解を$1339=pq$（$p,\ q$は素数で$p<q$）とすると$p=[ア][イ]$，$q=[ウ][エ][オ]$となる．したがって，$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$，$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である．こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる．同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である．

$f(x)=x^2-4x+7$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，$\mathrm{B}(t+a,\ f(t+a)) (a>0)$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$，$\ell_\mathrm{B}$とする．また$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．

$f(x)=x^2-4x+7$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，$\mathrm{B}(t+a,\ f(t+a)) (a>0)$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$，$\ell_\mathrm{B}$とする．また$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．

関数$f(x)$が，すべての実数$x$に対して$f(x)=2x^2-14x+\int_0^3 f(x) \, dx$をみたしているとき

(1)$\displaystyle \int_0^3 f(x) \, dx=[ア]$である．
(2)方程式$f(x)=0$の解$x_1,\ x_2 (x_1<x_2)$の値は，$x_1=[イ]$，$x_2=[ウ]$である．
(3)$a$を$a \geqq 0$をみたす実数とし，区間$a \leqq x \leqq a+1$における$f(x)$の最小値と最大値を，$a$の関数として，それぞれ，$m(a)$，$M(a)$とする．このとき$m(a)$が一定値となる$a$の区間は$[エ] \leqq a \leqq [オ]$であり，この区間で$m(a)=[カ]$である．また，$M(a) \leqq 6$をみたす$a$の区間は$[キ] \leqq a \leqq [ク]$である．

自然数$n$に対して，$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す．たとえば$6$以下の自然数で，$6$との最大公約数が$1$であるものは，$1$，$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である．$f(1339)$について考える．$1339$の素因数分解を$1339=pq$（$p,\ q$は素数で$p<q$）とすると$p=[ア][イ]$，$q=[ウ][エ][オ]$となる．したがって，$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$，$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である．こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる．同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である．

$p$を実数の定数として，実数$x$の関数を$\displaystyle f(x)={25}^x+\frac{1}{{25}^x}+2p \left( 5^x+\frac{1}{5^x}-1 \right)+7$とする．$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$とおき，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とおく．

(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)方程式$g(t)=0$が実数解を$1$個もつとき，$p$の値と解$t$の値を求めよ．
(3)方程式$g(t)=0$が次の条件をみたす$2$個の実数解$t_1,\ t_2$をもつとき，$p$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
\[ (ⅰ) t_1<2,\ t_2>2 \quad (ⅱ) t_1=2,\ t_2>2 \quad (ⅲ) 2<t_1<t_2 \quad \tokeishi t_1<t_2<2 \]
(4)$t$を定数とみなし$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$を$x$の方程式とみなして，方程式$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$が異なる$2$つの実数解$x$をもつように$t$の値を定めるとき，$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$の異なる実数解$x$の個数を，$p$の値で場合分けして求めよ．