四角形$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの内角がいずれも${180}^\circ$より小さく，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AD}=1$を満たすとする．

(1)$\angle \mathrm{BAD}={60}^\circ$のとき，$\cos \angle \mathrm{BCD}$の値を求めよ．
(2)${90}^\circ \leqq \angle \mathrm{BAD}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{6}}{4}$のとき，$\triangle \mathrm{BCD}$の外接円の半径を求めよ．

$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

(1)$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲の$\theta$について，$4 \cos^3 \theta+3 \sqrt{3} \cos^2 \theta$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$k$は実数の定数とする．$4 \cos^3 \theta+3 \sqrt{3} \cos^2 \theta=k$かつ$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$が，ちょうど$3$個存在するような，$k$の値の範囲を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{A}$を通る$2$つの曲線$C_1,\ C_2$の点$\mathrm{A}$における接線に対して，これらの接線のなす角$\displaystyle \theta \left( \text{ただし} 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1$と$C_2$のなす角と呼ぶことにする．

(1)$2$次方程式$x^2-1=ax+b$が重解をもつとき，$a$と$b$の間に$b=[$1$]$の関係式が成り立つ．
(2)放物線$y=x^2-1$の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$y=[$2$]$である．
(3)点$(1,\ 0)$における$2$曲線$y=x^2-1$と$y=x^3+3x^2-3x-1$のなす角$\theta$に対して，$\tan \theta$の値は$[$3$]$である．

糸の長さ$L$，おもりの質量$m$の振り子の振れの角（水平面に垂直な直線と糸がなす角）の大きさを$\theta$とすると，$\theta$は時刻$t$の関数として
\[ mL \frac{d^2 \theta}{dt^2}=-mg \theta \cdots\cdots (*) \]
を満たす．ただし重力加速度$g$は一定とする．

(1)$\theta=a \cos (2 \pi \nu t+\delta)$（ただし$\nu,\ a,\ \delta$は定数で$\nu>0$，$a \neq 0$）が時刻$t=t_1$で極大値をとり，その後初めて極小値をとる時刻を$t=t_2$とするとき，$t_2-t_1=[$4$]$である．
(2)$(1)$の$\theta$が$(*)$を満たすとき，$\nu$を求めると$\nu=[$5$]$である．
(3)$(2)$の$\theta$に対して時刻$t$におけるこの振り子のエネルギー$E(t)$を
\[ E(t)=\frac{1}{2} mL^2 \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2+\frac{1}{2}mgL \theta^2 \]
で与えるものとする．このとき$\displaystyle \frac{dE(t)}{dt}=[$6$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)連立$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
5x-y=kx \\
6x-2y=ky
\end{array} \right. \]
が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつような$k$を$k_1,\ k_2$（ただし$k_1<k_2$）とおくと，$k_1=[$7$]$，$k_2=[$8$]$である．
(2)$(1)$で求めた$k_1$に対して$(x,\ y)=(1,\ a)$，$k_2$に対して$(x,\ y)=(b,\ 1)$が各々上の連立$1$次方程式を満たすとき，行列$A$と$P$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
5 & -1 \\
6 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
1 & b \\
a & 1
\end{array} \right) \]
とおくと$P^{-1}AP=[$9$]$となる．これより自然数$n$に対して$A^n=[$10$]$である．
(3)自然数$n$に対して漸化式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=5a_n-b_n \\
b_{n+1}=6a_n-2b_n
\end{array} \right. ,\quad a_1=1,\ b_1=2 \]
を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めると，$a_n=[$11$]$，$b_n=[$12$]$である．

次は，下図で示されたような原子力発電所等でみられる冷却塔のモデルである．
\[ f(x)=\frac{x-3}{2}+\frac{2}{x-5},\quad 0 \leqq x \leqq \frac{7}{2} \]
とするとき$y=f(x)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転させてできる図形を考える．
（図は省略）

(1)$f(x)$は$x=[$13$]$において最大値$[$14$]$をとり，$x=[$15$]$において最小値$[$16$]$をとる．
(2)この図形の内部の体積は$[$17$]$である．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$xy$平面における放物線
\[ y=x^2-4x+1 \]
は放物線$y=x^2$を$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ]$だけ平行移動することによって得られる．関数
\[ y=x^2-4x+1 \quad (a \leqq x \leqq a+1) \]
の最小値を$m$とおく．ただし，$a$は実数である．$a<1$の場合は$m=[ウ]$であり，$1 \leqq a \leqq 2$の場合は$m=[エ]$であり，$a>2$の場合は$m=[オ]$である．
(2)${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数を求めよう．二項定理により
\[ \begin{array}{lll}
{(2x^2-xy-3y^2)}^5 &=& \displaystyle\left\{ (2x^2-xy)-3y^2 \right\}^5 \\
&=& (2x^2-xy)^5+5(2x^2-xy)^4(-3y^2) \\
& & +[カ](2x^2-xy)^3(-3y^2)^2+10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3 \\
& & +5(2x^2-xy)(-3y^2)^4 +(-3y^2)^5
\end{array} \]
が成り立つ．$(2x^2-xy)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[キ]$であり，$5(2x^2-xy)^4(-3y^2)$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[ク]$である．さらに，$[カ](2x^2-xy)^3(-3y^2)^2$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[ケ]$である．また，$10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3+5(2x^2-xy)(-3y^2)^4+(-3y^2)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$0$である．よって${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[コ]$である．

自然数$n$と$0$以上の整数$m$に対して，$\displaystyle p_n=\comb{2n}{n} {\left( \frac{1}{2} \right)}^{2n}$，$\displaystyle I_m=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx$とおく．次の問いに答えなさい．

(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \left( n+\frac{1}{2} \right) {p_n}^2=\frac{bI_{2n}}{I_{2n+1}}$が成り立つように，定数$b$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\sin^m x>\sin^{m+1} x>0$であることを用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} p_n$を求めなさい．

次の問題は，生命科学部生命機能学科植物医科学専修を志望する受験生のみ解答せよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある．

(1)$\theta$は$0<\theta<2\pi$を満たし，行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
とする．行列$A$が表す移動により，$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_1$に移るとするとき，$\mathrm{Q}_1$は$\mathrm{O}$を中心に$\mathrm{P}$を角$[ア]$だけ回転した点である．
ただし，$[ア]$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$から$1$つを選べ．
\[ \nagamaruichi -\theta \qquad \nagamaruni 0 \qquad \nagamarusan \theta \qquad \nagamarushi 2\theta \qquad \nagamarugo 3\theta \qquad \nagamaruroku \theta^2 \]
行列$B$を$\displaystyle B=\frac{1}{3}A$で定める．行列$B$が表す移動により$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_2$に移るとするとき，$\displaystyle \mathrm{OQ}_2=\frac{[イ]}{[ウ]} \mathrm{OP}$である．
$\mathrm{P}$が$x$軸方向に$-2$だけ平行移動し，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した点を$\mathrm{Q}_3(X,\ Y)$とするとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
[エオ] \\
[カ]
\end{array} \right) \]
が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を点$\mathrm{R}(X,\ Y)$に移す移動$T$が
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{lr}
3 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
14 \\
7
\end{array} \right) \]
で表されている．
移動$T$により，点$\mathrm{B}(p,\ q)$が点$\mathrm{B}(p,\ q)$に移るとするとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
[キク]-\sqrt{[ケ]} \\
[コ] \sqrt{[サ]}-[シ]
\end{array} \right) \]
である．
また，この移動$T$により$\mathrm{P}$が移る点$\mathrm{R}$は，$\theta,\ k$を実数として，点$\mathrm{B}$を中心に$\mathrm{P}$を角$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{P}^\prime (x^\prime,\ y^\prime)$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=k \overrightarrow{\mathrm{BP}^\prime}$を満たす．つまり，$(1)$の行列$A$を用いると，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime-p \\
y^\prime-q
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x-p \\
y-q
\end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c}
X-p \\
Y-q
\end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c}
x^\prime-p \\
y^\prime-q
\end{array} \right) \]
が成り立つから，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[ス]}$，$k=[セ]$である．
ただし，$[セ]$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamarukyu$から$1$つを選べ．
$\nagamaruichi$ $1$ \qquad $\nagamaruni$ $\sqrt{2}$ \qquad $\nagamarusan$ $\sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushi$ $2 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamarugo$ $3$
$\nagamaruroku$ $2 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushichi$ $3 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamaruhachi$ $3 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarukyu$ $6$

$a$は$a>2$を満たす実数とする．$f(x)=x^3-a^2x$，$g(x)=-x^2+a^2$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは$3$つの共有点をもつことを示し，$3$つの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの$3$つの共有点を，$x$座標の小さいほうから順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{B}$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=g(x)$のグラフとの共有点のうち点$\mathrm{B}$以外の点を$\mathrm{D}$とする．直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$y=g(x)$のグラフと直線$\ell$で囲まれ，$x \geqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．