「不等号」について
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私立 北海学園大学 2012年 第4問放物線$C:y=-x^2+ax$上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通り，傾きが$-1$の直線を$\ell$とする．ただし，$a$は定数で，$a>1$とする．
(1)$C$と$\ell$の共有点のうち，点$\mathrm{A}$とは異なる点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．また，曲線$C_1:y=-x^2+ax (0 \leqq x \leqq 1)$について，$C_1$，$\ell$および$y$軸によって囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S=S_1-S_2$とする．$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$と$\ell$の共有点のうち，点$\mathrm{A}$とは異なる点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．また，曲線$C_1:y=-x^2+ax (0 \leqq x \leqq 1)$について，$C_1$，$\ell$および$y$軸によって囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S=S_1-S_2$とする．$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．
(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．
(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第5問数列$\{a_n\} (n \geqq 1)$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^3-49n^2+409n-351$で与えられている．以下の各問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n (n \geqq 2)$を$n$の式で表せ．
(3)$\{a_n\} (n \geqq 1)$のうちで，$a_n$の値が最小となる$n$と，そのときの$a_n$の値を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n (n \geqq 2)$を$n$の式で表せ．
(3)$\{a_n\} (n \geqq 1)$のうちで，$a_n$の値が最小となる$n$と，そのときの$a_n$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ 4 \sin^2 x+(2-2 \sqrt{2}) \cos x+\sqrt{2}-4 \geqq 0 \]
(2)$\{a_n\} (n \geqq 1)$は初項$3$，公差$4$の等差数列，$\{b_m\} (m \geqq 1)$は初項$1000$，公差$-5$の等差数列とする．
(i) $2$つの等差数列の共通項の個数を求めよ．
(ii) $2$つの等差数列の共通項の総和を求めよ．
(3)$3$人がじゃんけんをして，$1$人だけ勝者を決める．$3$人はそれぞれグー，チョキ，パーを同じ確率で出すとする．勝者がいない場合は再びじゃんけんをする．勝者が$2$人の場合はその$2$人でじゃんけんをする．$2$人でじゃんけんをしたとき，勝者がいない場合は再びその$2$人でじゃんけんをする．
(i) $1$回目のじゃんけんで勝者がいない確率を求めよ．
(ii) $2$回じゃんけんをしても，勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(iii) $n$は正の整数とする．$n$回じゃんけんを続けても勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ 4 \sin^2 x+(2-2 \sqrt{2}) \cos x+\sqrt{2}-4 \geqq 0 \]
(2)$\{a_n\} (n \geqq 1)$は初項$3$，公差$4$の等差数列，$\{b_m\} (m \geqq 1)$は初項$1000$，公差$-5$の等差数列とする．
(i) $2$つの等差数列の共通項の個数を求めよ．
(ii) $2$つの等差数列の共通項の総和を求めよ．
(3)$3$人がじゃんけんをして，$1$人だけ勝者を決める．$3$人はそれぞれグー，チョキ，パーを同じ確率で出すとする．勝者がいない場合は再びじゃんけんをする．勝者が$2$人の場合はその$2$人でじゃんけんをする．$2$人でじゃんけんをしたとき，勝者がいない場合は再びその$2$人でじゃんけんをする．
(i) $1$回目のじゃんけんで勝者がいない確率を求めよ．
(ii) $2$回じゃんけんをしても，勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(iii) $n$は正の整数とする．$n$回じゃんけんを続けても勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第2問$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\displaystyle \mathrm{AM}=\frac{2}{3}$となる点$\mathrm{M}$をとる．また，辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OP}=p (0<p<1)$となる点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となるような$p$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となるような$p$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第3問次の各問に答えよ．
(1)正の数$a,\ b$が$a^3+b^3=5$を満たすとき，$a+b$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$x>0,\ x \neq 1$のとき，$\displaystyle 1+\frac{1}{\log_2x}-\frac{3}{\log_3x}<0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が楕円$x^2+5(y-1)^2=5$上を動くとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分の長さの最大値を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -5 \\
2 & -3
\end{array} \right),\ I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．$(I+A)^{2012}=mI+nA$となる実数$m,\ n$の値を求めよ．
(1)正の数$a,\ b$が$a^3+b^3=5$を満たすとき，$a+b$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$x>0,\ x \neq 1$のとき，$\displaystyle 1+\frac{1}{\log_2x}-\frac{3}{\log_3x}<0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が楕円$x^2+5(y-1)^2=5$上を動くとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分の長さの最大値を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -5 \\
2 & -3
\end{array} \right),\ I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．$(I+A)^{2012}=mI+nA$となる実数$m,\ n$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x(x-\sqrt{3})$および$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}y(y-\sqrt{3})$がある．
(i) この$2$つの曲線の交点を求めよ．
(ii) この$2$つの曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(a \sqrt{2x^2+x+1}-bx)=2$が成り立つような実数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき，$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x 3^t(3^t-4)(x-t) \, dt$の最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x(x-\sqrt{3})$および$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}y(y-\sqrt{3})$がある．
(i) この$2$つの曲線の交点を求めよ．
(ii) この$2$つの曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(a \sqrt{2x^2+x+1}-bx)=2$が成り立つような実数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき，$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x 3^t(3^t-4)(x-t) \, dt$の最小値を与える$x$の値を求めよ．
私立 昭和薬科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[ ]b+[ ]}{a+[ ]b-[ ]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[ ] \leqq y \leqq [ ]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[ ]x+[ ]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[ ]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[ ]b+[ ]}{a+[ ]b-[ ]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[ ] \leqq y \leqq [ ]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[ ]x+[ ]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[ ]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
私立 神戸薬科大学 2012年 第1問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．
(1)$10 \%$の食塩水と$15 \%$の食塩水を混ぜて$12 \%$以上$13 \%$以下の食塩水$1000 \mathrm{g}$を作るには，$10 \%$の食塩水を$[ ] \mathrm{g}$以上$[ ] \mathrm{g}$以下にすればよい．
(2)$20$から$200$までの整数について$6$で割って$3$余る数の総和を求めると$[ ]$である．
(3)$x^2-2xy+y^2+3x-3y+2$を因数分解すると$[ ]$である．
(4)$m<\log_4 25<m+1$を満たす整数$m$を求めると$m=[ ]$である．
(5)$2^{3-\log_2 x}-2^{\frac{2}{\log_x 4}}+2=0$を$x$について解くと$x=[ ]$である．
(1)$10 \%$の食塩水と$15 \%$の食塩水を混ぜて$12 \%$以上$13 \%$以下の食塩水$1000 \mathrm{g}$を作るには，$10 \%$の食塩水を$[ ] \mathrm{g}$以上$[ ] \mathrm{g}$以下にすればよい．
(2)$20$から$200$までの整数について$6$で割って$3$余る数の総和を求めると$[ ]$である．
(3)$x^2-2xy+y^2+3x-3y+2$を因数分解すると$[ ]$である．
(4)$m<\log_4 25<m+1$を満たす整数$m$を求めると$m=[ ]$である．
(5)$2^{3-\log_2 x}-2^{\frac{2}{\log_x 4}}+2=0$を$x$について解くと$x=[ ]$である．