$a>0$とし，放物線$C:y=x^2-ax$と$x$軸との共有点で，原点$\mathrm{O}$でない方の共有点を$\mathrm{P}$とする．また，$m>0$とし，直線$\ell:y=mx$と放物線$C$との共有点で，原点$\mathrm{O}$でない方の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)放物線$C$上の点$\mathrm{R}$における$C$の接線が直線$\ell$と平行であるとする．そのとき点$\mathrm{R}$と直線$\ell$との距離$d$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$m=a$のとき，放物線$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$S$は，三角形$\mathrm{ORQ}$の面積の何倍になるか求めよ．

$0<k<2$とする．曲線$C:y=x^2$上を動く点$\mathrm{P}$と，直線$y=2k(x-1)$上を動く点$\mathrm{Q}$との距離が最小となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$の式で表すと$[　]$である．このときの直線$\mathrm{PQ}$と曲線$C$とで囲まれる部分の面積が最小になる$k$の値を求めると，$k=[　]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[　]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[　]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[　]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[　]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[　]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[　]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)方程式$x^2+2mx+y^2-2(m+1)y+3m^2-4m+6=0$が円を表すとき，$m$の値の範囲は$[　]$である．また，この円の半径が最大となるとき，その円と直線$y=kx+4$とが共有点をもつための$k$の値の範囲は$[　]$である．
(2)$10$本のくじの中に当たりくじが$k$本入っている．ただし，$0<k<10$とする．$\mathrm{A}$がくじを$1$本引き，その引いたくじをもとに戻さないで，続いて$\mathrm{B}$がくじを$1$本引く．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$以下となるのは，$k$が$[　]$以下のときである．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらもはずれてしまう確率が$\displaystyle \frac{1}{10}$以下となるのは，$k$が$[　]$以上のときである．

円$C:x^2+y^2-6x-4y+8=0$と直線$\ell:y=mx-2m-1$（$m$は実数）がある．

(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．

$2$次関数$y=ax^2+12x+2$について考える（ただし，$a$は$0$でない整数）．

(1)この$2$次関数のグラフの軸が直線$x=3$であるならば$a=-[][]$であり，そのときの頂点の$y$座標は$[][]$である．
(2)この$2$次関数のグラフが$x$軸と共有点を持たないならば，$a$のとりうる最小値は$a=[][]$である．
(3)$a=-6$ならば，この$2$次関数の定義域が$-1 \leqq x \leqq 2$の場合の値域は$-[][] \leqq y \leqq [][]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{20} \div (2^4 \cdot 5)^{-\frac{1}{2}}=[][]$
(2)$5 \log_64 \cdot \log_236=[][]$
(3)方程式$\log_2x+\log_2(x-12)=6$の解は$x=[][]$である．
(4)不等式$\displaystyle (\sqrt{5})^x> \left( \frac{1}{25} \right)^{x-5}$を満たす$x$の範囲は$x>[][]$である．
(5)$\displaystyle \log_a 32=5,\ 3^{a-2b}=\frac{1}{3^4}$のとき，$ab=[][]$である．

$f(x)=x^2-ax+36$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$a=[][]$のとき，$x$が$0$から$2$まで変化する場合の$f(x)$の平均変化率が$-16$となる．また，このとき$f^\prime(u)=0$を満たす値$u$に対して$f(u)=-[][]$となる．
(2)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^3 f(x) \, dx=0$となる．
(3)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx=12a$となる．
(4)$y=f(x)$のグラフに対し，原点を通り，$x>0$の領域でこのグラフに接する接線$\ell$を引く．$a=[][]$のとき，$\ell$とこのグラフとの接点の$y$座標が$12$となる．

$0<k<3$のとき，等式$|x-k|+|x-3|=x+1$をみたす$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき$\beta$を$k$の式で表すと$\beta=[　]$である．また，$\beta-\alpha=5$となる$k$の値を求めると，$k=[　]$である．

$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x} (x>0)$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$と点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における曲線$C$の$2$つの接線が共に原点を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b$で，対数は自然対数とする．

(1)$a,\ b$の値と点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における$C$の接線，点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における$C$の法線，および曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．