場合の数と確率に関して以下の問に答えよ．

(1)$x,\ y$は$0$または正の整数とする．

(i) 方程式$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$の組は何通りあるか．
(ii) 方程式$x+y=6$と不等式$x<y$を同時に満たす$(x,\ y)$の組は何通りあるか．

(2)さいころを$3$回振り，$1$回目に出た目を$x$，$2$回目に出た目を$y$，$3$回目に出た目を$z$とおく．ただし，$x,\ y,\ z$は$1$以上$6$以下の正の整数とする．

(i) $x+y+z=8$となる確率を求めよ．
(ii) $x+y+z=8$かつ$x=y$となる確率を求めよ．
(iii) $x+y+z=8$かつ$x<y$となる確率を求めよ．

$k$を正の定数とし，$x,\ y$を実数とする．

(1)不等式$|y| \leqq -x^2+1$の表す領域を図示せよ．
(2)$k=1$のとき，不等式$|x|+|y| \leqq k$の表す領域を図示せよ．
(3)命題「$|y| \leqq -x^2+1$ならば$|x|+|y| \leqq k$」が真であるための必要十分条件を$k$の不等式を用いて表せ．

$x$の$2$次不等式を
\[ \begin{array}{lll}
x^2+2x-2<0 & & \cdots\cdots① \\
x^2-2ax+a^2-1>0 & & \cdots\cdots②
\end{array} \]
とする．以下の問に答えよ．

(1)$①$を解け．
(2)$②$を解け．
(3)$①$を満たす$x$の集合を$A$，$②$を満たす$x$の集合を$B$とする．$A \subset B$であるとき，$a$の値の範囲を求めよ．

関数$y=1-x^2$，$y=4+3x-x^2$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)不等式$0 \leqq y \leqq 1-x^2$で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．また，不等式
\[ y \geqq 1-x^2,\quad y \leqq 4+3x-x^2,\quad y \geqq 0 \]
で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．
(2)曲線$y=1-x^2$上の点$\mathrm{P}(k,\ 1-k^2)$における接線を$\ell$とおく．このとき接線$\ell$が曲線$y=4+3x-x^2$と異なる$2$点で交わるような$k$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}<k$である．また，このとき交点の$x$座標の値を$\alpha$，$\beta$とおくと
\[ \alpha+\beta=[ケ]+[コ]k,\quad \alpha\beta=[サシ]+k^{[ス]} \]
である．
(3)接線$\ell$と曲線$y=4+3x-x^2$で囲まれる領域の面積が$\displaystyle \frac{125}{6}$となる$k$の値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．

関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x^3}{3} \right) \left( \log_3 \frac{9}{x^3} \right)$について，次の設問に答えよ．

(1)$t=\log_3x$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 9$における$y$の最大値と最小値を求めよ．

点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$，$\mathrm{A}_5$と点$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_5$が次のように並んでいる．
\[ \begin{array}{ccccc}
\mathrm{A}_1 & \mathrm{A}_2 & \mathrm{A}_3 & \mathrm{A}_4 & \mathrm{A}_5 \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\
\mathrm{B}_1 & \mathrm{B}_2 & \mathrm{B}_3 & \mathrm{B}_4 & \mathrm{B}_5
\end{array} \]
各点$\mathrm{A}_i (1 \leqq i \leqq 5)$に対し，それぞれすべて異なる点$\mathrm{B}_j (1 \leqq j \leqq 5)$を$1$つずつ選んで線分で結ぶ．こうしてできた$5$本の線分を次のような集まりに分ける分け方を考える．

(i) 他の線分と交わらない線分はその線分だけで$1$つの集まりとする．
(ii) 他の線分と交わる線分は，その線分と交わる線分，及び，これらのいずれかに交わる線分を繰り返しすべて集めて$1$つの集まりとする．

例えば，次は集まりの個数が$3$個となる分け方である．
（図は省略）
また，次は集まりの個数が$2$個となる分け方である．
（図は省略）
このとき，次の問に答えなさい．

(1)集まりの個数が$5$個となる分け方は全部で$[ア]$通りである．
(2)集まりの個数が$4$個となる分け方は全部で$[イ]$通りである．
(3)集まりの個数が$3$個となる分け方は全部で$[ウエ]$通りである．
(4)集まりの個数が$2$個となる分け方は全部で$[オカ]$通りである．

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x+y^2 \leqq 24 \\
x+2y \geqq 3
\end{array} \right. \]
の表す領域を図示し，点$(x,\ y)$がこの領域を動くとき，$4x+3y$の最大値と最小値を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C$とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を通り，傾き$-m (0<m<1)$の直線と曲線$C$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$の座標，および線分$\mathrm{AB}$の長さ$l$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と曲線$C$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$m \to +0$のとき，$\displaystyle \frac{S}{l}$の極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$であることを用いてよい．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{4a_n}{3a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_n-1<10^{-5}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし$\log_{10}2=0.3010$とする．

$a,\ b$は定数で，$a>1$とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2+b$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最大値が$3$，最小値が$\displaystyle -\frac{21}{2}$であるとき，$a,\ b$を求めよ．