定数$a,\ b$は$a>b>0$とし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．$2$曲線
\[ C_1:y=a \sin x,\quad C_2:y=b \cos x \]
の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \alpha,\ \sin \beta$と$\cos \alpha,\ \cos \beta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$S=2 \sqrt{5}$，$a+b=3$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．

次の空欄を適当に補え．

(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．

(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．

(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．

$x$の関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^2}$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求め，$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求め，さらに$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(3)$x>0$において，$2 \sqrt{x}-\log x>0$を示せ．

(4)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$を求めよ．

(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \int_1^a f(x) \, dx=\int_1^c f(x) \, dx$を満たす正の定数$c$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right) (b \neq 0)$が表す$1$次変換を$f$とする．点$\mathrm{P}(c,\ 0) (c>0)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)次の$[$①$]$から$[$④$]$を数値でうめよ．
点$\mathrm{Q}(3,\ 4)$を，点$\mathrm{R}(1,\ 2)$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点の座標は
\[ \left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\ \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
3-[$①$] \\ \\
4-[$②$]
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
[$①$] \\ \\
[$②$]
\end{array} \right) \]
を計算することにより，$([$③$],\ [$④$])$である．

(2)$B=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right)$，$V=\left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)-A \left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right)$とおく．

点$\mathrm{P}$を，点$f(\mathrm{P})$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点が$(f \circ f)(\mathrm{P})$と一致するという条件を$A,\ B,\ V,\ O$を用いて表すと，$([$⑤$])V=O$と表すことができる．$A$と$B$を用いて$[$⑤$]$をうめよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$f(\mathrm{P})$，$(f \circ f)(\mathrm{P})$が正三角形の$3$つの頂点をなすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$(3)$の正三角形の$1$辺の長さが$1$になるとき，$c$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle \sin \theta \geqq \frac{1}{2}$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)$\theta$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$f(\theta)=\sin \theta+\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．またそのときの$\theta$の値を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$y=|\abs{x-2|+2x-3}$のとき，$y$を絶対値を用いずに$x$で表すと
\[ \begin{array}{cll}
x \leqq [$①$] & \text{のとき} & y=[$②$] \\
[$①$]<x \leqq [$③$] & \text{のとき} & y=[$④$] \\
[$③$]<x & \text{のとき} & y=[$⑤$]
\end{array} \]
となる．
(2)$y=|\abs{x-2|+2x-3}$のグラフと直線$y=4$とは$x=[$⑥$]$および$x=[$④chi$]$（ただし，$[$⑥$]<[$④chi$]$とする）で交わる．また，$y=|\abs{x-2|+2x-3}$のグラフと直線$y=4$とで囲まれた図形の面積は$[$\maruhachi$]$である．

次の$[　]$を数値でうめよ．

放物線$y=ax^2+bx+c$の頂点の$x$座標は$\displaystyle \frac{11}{12}$であり，この放物線は$x$座標が$1$の点で直線$\displaystyle y=\frac{x}{3}+1$に接している．このとき，$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．この$a,\ b,\ c$に対し，$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll}
ax^2+bx+c & & x \leqq 1 \\ \\
\displaystyle \frac{x}{3}+1 & & x>1
\end{array} \right. \]
と定め
\[ F(t)=\int_t^{t+1} f(x) \, dx \]
とおく．このとき，$F(t)$は$0 \leqq t \leqq 1$である$t$に対し
\[ F(t)=[$④$]t^3+[$⑤$]t^2-[$⑥$]t+\frac{11}{6} \]
と表される．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$F(t)$の値が最小になるのは$t=[$④chi$]$のときである．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$t$を実数とする．どのような$t$の値に対しても，点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある．また，実数$s$に対して，点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である．
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は，$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である．また，$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である．
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は，定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる．$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である．
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について，$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である．

$r$を正の定数とするとき，次の各問に答えよ．

(1)直線$x+y=3$と円$x^2+y^2=r^2$が共有点をもつような$r$の範囲を求めよ．
(2)直線$x+y=3$と円$x^2+y^2=r^2$が共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもち，$\mathrm{AB}=1$となる$r$の値を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が不等式$x+y \geqq 3$を満たすとき，$x^2+y^2+2x+2y$の最小値を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)不等式$x^2-x-6<0$の解は$[$1$]$であり，不等式$x^2-|x|-6<0$の解は$[$2$]$である．
(2)放物線$y=-x^2+4x$の頂点の座標は$[$3$]$である．また，この放物線を$x$軸方向に$[$4$]$，$y$軸方向に$[$5$]$だけ平行移動した放物線の方程式は$y=-x^2-2x-3$である．
(3)$x$についての不等式$\log_{\alpha}(3-x)-\log_{\alpha}(2x-3) \leqq 2$の解は，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$のとき$[$6$]$であり，$\alpha=2$のとき$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを$3$回投げるとき，$3$回とも同じ目が出る確率は$[$8$]$である．また，目の和が$7$になる確率は$[$9$]$である．
(5)$(x-2)^{50}=a_0+a_1x+\cdots +a_{50}x^{50}$（$a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_{50}$は実数）のとき，$a_{47}$の値は$[$10$]$であり，$a_0+a_1+\cdots +a_{50}$の値は$[$11$]$である．