$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がじゃんけんを繰り返すゲームをする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$2$回多く勝った時点でゲームは終了とする．$1$回のじゃんけんで$\mathrm{A}$が勝つ確率，$\mathrm{B}$が勝つ確率，あいこの確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{3}$である．自然数$n$に対して，じゃんけんを$n$回行った時点でちょうどゲームが終了となる確率を$p_n$とおく．また，じゃんけんを$n$回行った時点で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$1$回多く勝っている確率を$q_n$とおき，ともに同じ回数だけ勝っている確率を$r_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ q_1$および$r_1$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$p_n$を$q_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$n \geqq 2$のとき，$q_n,\ r_n$のそれぞれを$q_{n-1}$と$r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 2$のとき$q_n+kr_n=l(q_{n-1}+kr_{n-1})$を満たす実数$k,\ l$の値を$2$組求めよ．
(5)$(4)$で求めた$k,\ l$の値の$2$組を$k_1,\ l_1$と$k_2,\ l_2$とおく．ただし$k_1<k_2$とする．数列$\{q_n+k_1r_n\}$，数列$\{q_n+k_2r_n\}$，数列$\{q_n\}$，数列$\{r_n\}$の一般項をそれぞれ$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．
(6)数列$\{p_n\}$の一般項を$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．

座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-\sin 2t,\quad y=1-\cos 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
で表される．

(1)点$\mathrm{P}$の時刻$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$における速度は$([コ],\ \sqrt{[サ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}$の速さは$2 \sqrt{[シ]([ス]-\cos [セ]t)}$であり，その速さは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ソ]}$のとき最大値$[タ]$をとる．
(3)点$\mathrm{P}$の加速度は，その大きさが一定の値$[チ]$をとり，$x$軸の正の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ツ]}$のときであり，$x$軸の負の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$のときである．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{7}-\sqrt{3}$，$y=\sqrt{7}+\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$であり，$\displaystyle \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(2)$(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])$である．
(3)連立不等式$\displaystyle \frac{5x-7}{3}-1 \leqq x+2<\frac{4x-3}{2}$の解は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<x \leqq [シ]$である．
(4)等式$2 |x-1|+x-7=0$を満たす実数$x$の値は$[スセ]$と$[ソ]$である．
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は$[タチツ]$通りである．
(6)$1$から$9$までの整数を$1$つずつ書いたカードが$9$枚ある．この中から同時に$2$枚を取り出したとき，それらの整数の積が偶数である確率は$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナニ]}$である．
(7)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{5}$のとき，
\[ \sin (180^\circ-\theta)+\cos (180^\circ-\theta)+\tan (90^\circ-\theta)=\frac{[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]} \]
である．
(8)$a,\ b$を正の整数の定数とする．$2$次関数$y=2x^2+(a-2)x+3-b$のグラフが$x$軸と接するとき，$a=[オ]$，$b=[カ]$，あるいは$a=[キ]$，$b=[ク]$である．ただし，$[オ]<[キ]$である．

関数$\displaystyle y=3 \log_8x+4 \log_4 4x-(\log_2x)^2 \left( \frac{1}{2} \leqq x \leqq 32 \right)$について考える．$t=\log_2x$とおく．

(1)$t$のとり得る値の範囲は$[クケ] \leqq t \leqq [コ]$である．
(2)$y=-t^2+[サ]t+[シ]$である．
(3)$y$は$x=[ス] \sqrt{[セ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チ]}$をとり，$x=[ツテ]$で最小値$[トナ]$をとる．

曲線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$から直線$y=x$へ垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．

(1)点$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(2)範囲$x \geqq 1$において，曲線$y=x^2$と直線$y=x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とする．このとき，$S_1$を$t$を用いて表しなさい．
(3)曲線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めなさい．ただし，$S_1$は$(2)$と同じとする．

$[　]$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

(1)$k$を自然数とすると，不等式
\[ k>\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2} \]
が成立する．この不等式の右辺の逆数は$\displaystyle [ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right)$であるから，不等式
\[ \frac{1}{k}<[ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right) \]
を得る．この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより，
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=[ウ] \]
であることがわかる．
(2)自然数$n$に対し，
\[ a_n=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+n+1)},\quad s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
と定める．

(i) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$を求めよ．

(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) s_{n+1}$を求めよ．

（ヒント：$n \geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより，$(ⅰ)$の結果が使える形に変形せよ．）
(iii) $n$を自然数とする．また，$p$は自然数で，等式
\[ \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+n+1} \right)=s_p \]
が成立しているとする．このとき，$p$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeishi$] $n$を自然数とし，$p$は$(ⅲ)$における通りであるとする．また，$q$は自然数で，等式
\[ a_n=\frac{s_p}{q} \]
が成立しているとする．このとき，$q$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeigo$] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ．

$a$を実数とし，関数$f(x)=x^3+3ax^2+(3a^2-a)x$について考える．方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を$k$とする．$f(0)=0$であることに注意せよ．

(1)$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$k=2$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$k=3$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$a$は$(3)$で求めた範囲にあるとする．方程式$f(x)=0$の$0$以外の実数解を$\alpha,\ \beta$とおく．ただし，$\alpha<\beta$とする．

(i) $\alpha<0$であることを示せ．
(ii) $\alpha<\beta<0$であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(iii) $\alpha<0<\beta$であるような$a$の値の範囲を求めよ．

(5)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$a$が$(5)$で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値を$m(a)$とおく．$a$が$(5)$で求めた範囲を動くときの$m(a)$の最大値と，最大値を与える$a$の値を求めよ．

次の$(1)$と$(2)$に答えなさい．

(1)$k,\ l,\ m,\ n$は自然数とする．条件
\[ k \cdot l \cdot m \cdot n=k+l+m+n,\quad k \leqq l \leqq m \leqq n \]
を満たす組$(k,\ l,\ m,\ n)$をすべて求めなさい．
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ \log_2x-\log_{\frac{1}{2}}(4-x)<1 \]

関数$\displaystyle f(x)=\log_2 8x \cdot \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{x}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t=\log_2x$とするとき，$f(x)$を$t$の関数$g(t)$として表せ．
(2)$(1)$で求めた関数を$s=g(t)$とするとき，この関数のグラフを座標平面上にえがけ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq 16$であるとき，$f(x)$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+2y \leqq 2 \\
-x+2y \leqq 2 \\
x^2-y \leqq 4
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.3}
の表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$|x+y|$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．