「不等号」について
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私立 慶應義塾大学 2012年 第3問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な$t$の値が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．
放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{P}(-1,\ 1)$をとり，$\mathrm{P}$における$C$の法線と$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．また$t$を実数として，点$\mathrm{P}$をとおって傾きが$t$の直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}$をとおって$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標は$([あ],\ [い])$である．
(2)点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と異なるように$t$を変化させるときの$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値は$[う]$である．また$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を最大にする$t$の値をすべて求めると$t=[え]$である．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とは異なる$C$上の点$\mathrm{T}(u,\ u^2)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{TP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{TQ}}<0$となるような$u$の範囲は
\[ [お]<u<[か] \]
である．
(4)点$\mathrm{R}$が，不等式$y<x^2$の表す領域に入るような$t$の範囲は
\[ [き]<t<[く] \]
である．
放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{P}(-1,\ 1)$をとり，$\mathrm{P}$における$C$の法線と$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．また$t$を実数として，点$\mathrm{P}$をとおって傾きが$t$の直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}$をとおって$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標は$([あ],\ [い])$である．
(2)点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と異なるように$t$を変化させるときの$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値は$[う]$である．また$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を最大にする$t$の値をすべて求めると$t=[え]$である．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とは異なる$C$上の点$\mathrm{T}(u,\ u^2)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{TP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{TQ}}<0$となるような$u$の範囲は
\[ [お]<u<[か] \]
である．
(4)点$\mathrm{R}$が，不等式$y<x^2$の表す領域に入るような$t$の範囲は
\[ [き]<t<[く] \]
である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha<\beta \leqq \frac{\pi}{2}$かつ$R>0$とする．極座標$(r,\ \theta)$に関する条件
\[ 0 \leqq r \leqq R,\quad \alpha \leqq \theta \leqq \beta \]
により定まる図形を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$T$とする．$T$を$\alpha,\ \beta,\ R$を用いた式で表すと
\[ T=[あ] \]
である．
(2)極方程式$r=f(\theta) (0 \leqq \theta \leqq \alpha)$で表される曲線$C$と，$\theta=\alpha$で表される直線$\ell$および$x$軸の正の部分で囲まれた図形を$S$とする．ただし$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とし，関数$f(\theta)$は連続かつ$f(\theta)>0$をみたし，$0 \leqq \theta \leqq \alpha$において増加または減少または定数とする．
$S$を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$V(\alpha)$とすると
\[ \frac{d}{d\alpha}V(\alpha)=[い] \]
であり，したがって
\[ V(\alpha)=[う] \]
である．また$S$を直線$\ell$のまわりに回転させて得られる立体の体積を$W(\alpha)$とすると
\[ W(\alpha)=[え] \]
である．
(3)$(2)$において$f(\theta)=\sqrt[3]{\cos \theta}$とするとき$\displaystyle V \left( \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle W \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めると
\[ V \left( \frac{\pi}{4} \right)=[お],\quad W \left( \frac{\pi}{4} \right)=[か] \]
である．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha<\beta \leqq \frac{\pi}{2}$かつ$R>0$とする．極座標$(r,\ \theta)$に関する条件
\[ 0 \leqq r \leqq R,\quad \alpha \leqq \theta \leqq \beta \]
により定まる図形を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$T$とする．$T$を$\alpha,\ \beta,\ R$を用いた式で表すと
\[ T=[あ] \]
である．
(2)極方程式$r=f(\theta) (0 \leqq \theta \leqq \alpha)$で表される曲線$C$と，$\theta=\alpha$で表される直線$\ell$および$x$軸の正の部分で囲まれた図形を$S$とする．ただし$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とし，関数$f(\theta)$は連続かつ$f(\theta)>0$をみたし，$0 \leqq \theta \leqq \alpha$において増加または減少または定数とする．
$S$を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$V(\alpha)$とすると
\[ \frac{d}{d\alpha}V(\alpha)=[い] \]
であり，したがって
\[ V(\alpha)=[う] \]
である．また$S$を直線$\ell$のまわりに回転させて得られる立体の体積を$W(\alpha)$とすると
\[ W(\alpha)=[え] \]
である．
(3)$(2)$において$f(\theta)=\sqrt[3]{\cos \theta}$とするとき$\displaystyle V \left( \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle W \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めると
\[ V \left( \frac{\pi}{4} \right)=[お],\quad W \left( \frac{\pi}{4} \right)=[か] \]
である．
私立 東京理科大学 2012年 第2問$a$を正の定数とし，座標平面において放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$x$軸上の点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を満たし，その$x$座標が$\mathrm{R}$の$x$座標より大きいものとする．
(1)点$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と点$\mathrm{P}$において接し$x$軸とも接する円で，中心が第$1$象限にあるものを考える．この円の中心の座標を$(q,\ r)$とするとき，$q,\ r$を$t$と$a$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$q,\ r$に対して，$t$が$0$に限りなく近づくときの，$\displaystyle \frac{q}{t},\ \frac{r}{t^2},\ \frac{r}{q^2}$の極限値をそれぞれ求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と点$\mathrm{P}$において接し$x$軸とも接する円で，中心が第$1$象限にあるものを考える．この円の中心の座標を$(q,\ r)$とするとき，$q,\ r$を$t$と$a$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$q,\ r$に対して，$t$が$0$に限りなく近づくときの，$\displaystyle \frac{q}{t},\ \frac{r}{t^2},\ \frac{r}{q^2}$の極限値をそれぞれ求めよ．
私立 東京理科大学 2012年 第2問$s,\ t$を実数とし，$0<s<1$とする．座標空間内の$3$点
\[ \begin{array}{l}
\mathrm{P}((2-s)+s \cos t,\ 0,\ (2-s)+s \sin t), \\ \\
\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ (2-s)+s \sin t \right), \\ \\
\mathrm{R}(0,\ 0,\ (2-s)+s \sin t)
\end{array} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ．
点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する．このとき，弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と，半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする．ただし，$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする．
(3)$C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ．
(5)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ．
(6)$t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ．
(7)上の$(5)$，$(6)$の$V_1$，$V_2$に対して，$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
\mathrm{P}((2-s)+s \cos t,\ 0,\ (2-s)+s \sin t), \\ \\
\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ (2-s)+s \sin t \right), \\ \\
\mathrm{R}(0,\ 0,\ (2-s)+s \sin t)
\end{array} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ．
点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する．このとき，弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と，半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする．ただし，$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする．
(3)$C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ．
(5)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ．
(6)$t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ．
(7)上の$(5)$，$(6)$の$V_1$，$V_2$に対して，$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．
私立 東京理科大学 2012年 第3問自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \]
で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．
$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ 0)$，$(t,\ f_n(t))$，$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．
(1)関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．
(2)$t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．
(3)$S_1(t)$と$S_n(t) (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t (t>1)$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい．
\[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \]
で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．
$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ 0)$，$(t,\ f_n(t))$，$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．
(1)関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．
(2)$t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．
(3)$S_1(t)$と$S_n(t) (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t (t>1)$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい．
私立 日本女子大学 2012年 第3問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がゲームをして，先に$3$勝した方が優勝する．各回のゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率を$\sin^2 \theta$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$\cos^2 \theta$とする．$t=\cos 4\theta$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)ちょうど$3$回目のゲームで優勝が決まる確率を$t$の$1$次式で表せ．
(2)ちょうど$4$回目のゲームで優勝が決まる確率$p(\theta)$を$t$の$2$次式で表せ．
(3)確率$p(\theta)$の最大値を求めよ．
(1)ちょうど$3$回目のゲームで優勝が決まる確率を$t$の$1$次式で表せ．
(2)ちょうど$4$回目のゲームで優勝が決まる確率$p(\theta)$を$t$の$2$次式で表せ．
(3)確率$p(\theta)$の最大値を求めよ．
私立 日本女子大学 2012年 第2問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，方程式
\[ \log_{\frac{1}{2}} \cos \theta-\log_{\frac{1}{4}} \sin \theta-\frac{3}{2} \log_2 \tan \theta=\frac{1}{2} (1-\log_23) \]
を満たす$\theta$の値を求めよ．
\[ \log_{\frac{1}{2}} \cos \theta-\log_{\frac{1}{4}} \sin \theta-\frac{3}{2} \log_2 \tan \theta=\frac{1}{2} (1-\log_23) \]
を満たす$\theta$の値を求めよ．
私立 日本女子大学 2012年 第3問$a$を正の実数とし，$t$を$0<t<a$を満たす実数とする．放物線$y=(x-a)^2$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{T}(t,\ (t-a)^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．$C$，$y$軸および$\ell$で囲まれた図形の面積を$R_1$とおき，$C$，$x$軸および$\ell$で囲まれた図形の面積を$R_2$とおく．$t$が区間$0<t<a$の値をとって変化するとき，$R_1+R_2$の最小値とそのときの$t$を$a$で表せ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど$4$回出たところ，または，裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．
(i) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると，
\[ p_4=\frac{[ア]}{[イ]},\quad p_5=\frac{[ウ]}{[エ]},\quad p_7=\frac{[オ]}{[カ][キ]} \]
である．
(ii) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は
\[ \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ]} \]
である．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して，$x$に関する$2$次方程式
\[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \]
を考える．
(i) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは，
\[ [ア][イ]^\circ<\theta \leqq [ウ][エ][オ]^\circ \]
のときである．
以下，この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え，この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．
(ii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束するのは，
\[ [カ][キ][ク]^\circ<\theta \leqq [ケ][コ][サ]^\circ \]
のときである．
(iii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束して，その和が$2-\sqrt{2}$となるのは，
\[ \theta=[シ][ス][セ]^\circ \]
のときである．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$），線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$（$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$）とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる．
(i) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=[ア]$である．
以下，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする．
(ii) $\mathrm{OP}=1$のとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{[イ]}{[ウ][エ]} \times \sqrt{[オ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとるとき，
\[ \mathrm{OP}=\frac{[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]} \]
である．このとき，
\[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]} \]
である．
(1)$1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど$4$回出たところ，または，裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．
(i) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると，
\[ p_4=\frac{[ア]}{[イ]},\quad p_5=\frac{[ウ]}{[エ]},\quad p_7=\frac{[オ]}{[カ][キ]} \]
である．
(ii) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は
\[ \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ]} \]
である．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して，$x$に関する$2$次方程式
\[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \]
を考える．
(i) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは，
\[ [ア][イ]^\circ<\theta \leqq [ウ][エ][オ]^\circ \]
のときである．
以下，この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え，この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．
(ii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束するのは，
\[ [カ][キ][ク]^\circ<\theta \leqq [ケ][コ][サ]^\circ \]
のときである．
(iii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束して，その和が$2-\sqrt{2}$となるのは，
\[ \theta=[シ][ス][セ]^\circ \]
のときである．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$），線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$（$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$）とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる．
(i) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=[ア]$である．
以下，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする．
(ii) $\mathrm{OP}=1$のとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{[イ]}{[ウ][エ]} \times \sqrt{[オ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとるとき，
\[ \mathrm{OP}=\frac{[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]} \]
である．このとき，
\[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]} \]
である．
私立 東京理科大学 2012年 第2問以下の問いに答えなさい．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3} \cos 3x-\frac{1}{2} \cos 2x+\cos x (0<x<\pi)$について考える．
(i) $\displaystyle x=\frac{\pi}{12}$のとき，$f(x)$の値$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{12} \right)$を求めなさい．
(ii) 関数$f(x)$の極値を求めなさい．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される座標平面上の点の移動（$1$次変換）$f$が条件
「点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$y=-x+1$上にあるとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$f$による像$\mathrm{P}^\prime(x^\prime,\ y^\prime)$はつねに直線$\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}$上にある．また，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$y=2x-1$上にあるとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$f$による像$\mathrm{P}^\prime(x^\prime,\ y^\prime)$はつねに直線$x=1$上にある」
を満たすとき，$A$を求めなさい．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3} \cos 3x-\frac{1}{2} \cos 2x+\cos x (0<x<\pi)$について考える．
(i) $\displaystyle x=\frac{\pi}{12}$のとき，$f(x)$の値$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{12} \right)$を求めなさい．
(ii) 関数$f(x)$の極値を求めなさい．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される座標平面上の点の移動（$1$次変換）$f$が条件
「点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$y=-x+1$上にあるとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$f$による像$\mathrm{P}^\prime(x^\prime,\ y^\prime)$はつねに直線$\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}$上にある．また，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$y=2x-1$上にあるとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$f$による像$\mathrm{P}^\prime(x^\prime,\ y^\prime)$はつねに直線$x=1$上にある」
を満たすとき，$A$を求めなさい．