$\log x$は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．

(1)$a,\ b$は$e^{-1}<a<1,\ b>0$を満たす実数とする．曲線$C:y=\log x$と直線$\ell:y=ax+b$とが接しているとすると，
\[ b=[モ] \log a+[ヤ] \]
が成り立つ．このとき，曲線$C$と$3$つの直線$\ell$，$x=1$，$x=e$とで囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$e^{-1}<a<1$の範囲を動くときの$S(a)$の最小値は
\[ \left( [ユ]e+[ヨ] \right) \log \left( \frac{e+[ラ]}{[リ]} \right) +[ル] \]
で与えられる．
(2)$k$を正の定数とし，$e^{-k}<t<1$である$t$に対して，
\[ f(t)=\int_0^k |e^{-x|-t} \, dx \]
とおく．$t$が$e^{-k}<t<1$の範囲を動くときの関数$f(t)$の最小値を$M(k)$とおくと，
\[ M(k)=\left( [レ]+e^P \right)^2,\quad \text{ただし} P=\frac{[ロ]}{[ワ]}k \]
となる．このとき
\[ \lim_{k \to +0} \frac{M(k)}{k^2}=\frac{[ヲ]}{[ン]} \]
である．

座標平面上の点$(x,\ y)$のうち，$x,\ y$がともに整数である点を格子点とよぶ．いま，格子点の集合$A$を次のように定義する．
\[ A=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 16<x^2+y^2 \leqq 36,\ x \text{と} y \text{は整数} \} \]

(1)$A$の点は全部で$[ム]$個ある．
(2)格子点上を$1$秒間に右または上に$1$動く点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は原点から出発し，$A$の点の$1$つに到達したら停止する．このとき，$\mathrm{P}$が到達できない$A$の点は全部で$[メ]$個ある．以下，$\mathrm{P}$が到達できる$A$の部分集合を$A_0$とする．
(3)$(2)$で考えた点$\mathrm{P}$が右に動く確率と上に動く確率をともに$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．また，各格子点における$\mathrm{P}$の動きは，その点に至るまでの動き方と独立に決まるものとする．

(i) 原点からの経路の数が最も多い$A_0$の点は$\mathrm{Q}([モ],\ [ヤ])$であり，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$に到達する確率は$\displaystyle \frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．
(ii) 原点からの経路の数が$\mathrm{Q}$の次に多い$A_0$の点は全部で$[ラ]$個あり，それらの点のいずれかで$\mathrm{P}$が停止する確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．
(iii) $\mathrm{P}$が$A_0$の点のいずれかで停止するまでの時間の期待値は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロ]}$秒である．

$a$を実数とするとき，$2$次関数
\[ f(x)=x^2+(3-2a)x+2a \]
について，以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの頂点の座標を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$でつねに$f(x) \geqq 0$となるときの$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$は$(2)$で求めた値の範囲を動くものとする．$-1 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最小値を$m$とするとき，$m$を$a$で表せ．また，$m$を$a$の関数とみるとき，この関数のグラフを図示せよ．

$\{\theta_k\}$を初項$0$，交差$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の等差数列，$\{r_k\}$を初項$1$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，自然数$k$に対して，行列$A_k$，$B_k$を
\[ A_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & r_k \sin \theta_k \\
r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right),\quad B_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & -r_k \sin \theta_k \\
-r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right) \]
とおく．$C_k=A_kA_{k+1}$，$D_k=B_k B_{k+1}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_k$を$k$を用いて表せ．
(2)$D_k$を$k$を用いて表せ．
(3)$m$を自然数とするとき，次の行列の和
\[ \left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^2+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^4+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}} C_k \right)^6+\cdots +\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^{2m} \]
を求めよ．
(4)$C_k^2D_k^2$を求めよ．
(5)次の行列の和
\[ C_1^2D_1^2+2C_2^2D_2^2+3C_3^2D_3^2+\cdots +nC_n^2D_n^2 \]
を$\left( \begin{array}{cc}
x_n & y_n \\
z_n & w_n
\end{array} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}z_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}w_n$を求めよ．
ただし，必要ならば，実数$a (a>1)$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{a^n}=0$が成り立つことを用いてよい．

整数$n$に対し，
\[ f_n(x)=3^nx \quad (x>0) \]
と定める．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{10} \leqq f_n(3)<\frac{243}{10}$となる$n$をすべて求めよ．
(2)正の実数$x$に対し，$\displaystyle \frac{1}{10} \leqq f_n(x)<\frac{243}{10}$を満たす$n$の個数を$N(x)$とする．$N(3)+N(3.5)+N(4)+N(4.5)$の値を求めよ．

正の実数$a$に対し，
\[ f(x)=-x^2+2ax+a \quad (-1 \leqq x \leqq 1) \]
と定め，$f(x)$の最大値を$M(a)$とする．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$M(a)$を求めよ．
(2)$\displaystyle L(a)=M(a)-\frac{a^3}{3} (a>0)$とする．$L(a)$の最大値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$a>0$，$a \neq 1$，$M>0$とする．$a$を底とする$M$の対数$\log_aM$の定義を述べよ．

(2)$(1)$で述べた定義に基づいて底の変換公式$\displaystyle \log_aM=\frac{\log_bM}{\log_ba}$を証明せよ．ただし，$a,\ b,\ M$は正の実数で，$a \neq 1$，$b \neq 1$である．
(3)$m \log_3p+n \log_9q=2$を満たす正の整数$m,\ n$が存在するような正の整数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ．

等差数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=1+3(n-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の設問に答えよ．

(1)新しく数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．このとき$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} b_n$を求めよ．
(2)自然数$k$に対し，新しく数列$\{c_n\}$を
\[ c_n=a_{kn} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．このとき
\[ 800 \leqq \sum_{n=1}^{10} c_n \leqq 900 \]
となる$k$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の式を展開せよ．
\[ (x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1) \]
(2)$m$は自然数である．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2mx+6m-8=0 \]
が，実数解を持たないとき，$m$の値を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq 360^\circ$において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
\[ y=2 \sin^2 \theta+\cos \theta-2 \]
(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_1^2 (3x^2+4x+2) \, dx \]
(5)大小$2$つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$|a-b| \geqq 3$となる確率を求めよ．
(6)半径$r$の球の体積$\displaystyle V=\frac{4 \pi r^3}{3}$を，$r$で微分して，導関数$V^\prime$を求めよ．これは，半径$r$の球の何を表しているか．

$2$次関数や$3$次関数$y=f(x)$から新しい関数$F(x)$を次のように作る．

実数$x$に対して，$f(\alpha)=f(x)$を満たす最大の$\alpha$をとり
\[ F(x)=\alpha-x \]
と定める．

例えば，$f(x)=x^2$の場合，実数$x$に対して$\alpha$の方程式$f(\alpha)=f(x)$は$\alpha^2=x^2$であり，$\alpha=\pm x$となる．したがって，その$2$つの$\alpha$のうち大きい方をとれば次を得る．

$x<0$のとき$\alpha=-x$により$F(x)=\alpha-x=-2x=2 |x|$
$x \geqq 0$のとき$\alpha=x$により$F(x)=\alpha-x=0$

以下では$f(x)=x^3-3b^2x (b>0)$に対して，上の操作で定めた関数$F(x)$を考える．

(1)$F(-b),\ F(0),\ F(b)$の値を求めよ．
(2)$F(x)=0$となる$x$の範囲を求めよ．また$F(x)>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(3)$F(x)>0$となる$x$に対し，$f(\alpha)=f(x)$を満たす最大の$\alpha$を$x$の式で表せ．
(4)関数$y=F(x)$を求め，そのグラフの概形をかけ．また$F(x)$の最大値を求めよ．