$4$枚のコインの表に$1$から$4$まで数字が$1$つずつ書かれている．これらを同時に投げ，表が出たコインに書かれた数字の和を$S$とする．ただし，すべてが裏のときは$S=0$とする．

(1)$1 \leqq S \leqq 5$である確率を求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(3)表が出たコインに書かれた数字のうち奇数だけの和を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．

平面上の点で，その座標が両方とも整数であるものを格子点と呼ぶ．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$以外の格子点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{OP}$上にある$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$以外の格子点の個数を$n(\mathrm{P})$で表す．たとえば，点$\mathrm{P}(2,\ 3)$については$n(\mathrm{P})=0$である．条件
\[ 1 \leqq a \leqq 30 \quad \text{かつ} \quad 1 \leqq b \leqq 30 \quad \text{かつ} \quad n(\mathrm{P})=4 \]
をみたす格子点$\mathrm{P}(a,\ b)$の個数を求めよ．

$p$を定数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^x-\left( 1+\frac{1}{2}x \right) (1+px) \]
と定める．

(1)$p=0$のとき，$x \geqq 0$ならば$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(2)「$x \geqq 0$ならば$f(x) \geqq 0$」が成り立つような定数$p$の取り得る値の範囲を求めよ．

$0 \leqq t<2\pi$に対して，$2$次方程式
\[ x^2+(\sin t-2)x+\sin 2t-\sin t=0 \]
を考える．

(1)すべての$t$に対して方程式は相異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(2)方程式が$2$つの正の実数解をもつための$t$の範囲を求めよ．

$t>0$とし，放物線$\displaystyle C_1:y=-\frac{1}{16}x^2-\frac{8}{9}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ -\frac{1}{16}t^2-\frac{8}{9} \right)$における法線を$L$とする．ただし，点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と直交する直線のことである．

(1)$L$が放物線$C_2:y=x^2$に接するとき，$t$の値を求めよ．
(2)$t$が$(1)$での値をとるとき，$C_1,\ C_2,\ L$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．

$0 \leqq x<2\pi$のとき，以下の問に答えよ．

(1)$2 \cos 2x=1-4 \cos x$の解は，$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}\pi$，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}\pi$である．
ただし，$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}<\frac{[ウ]}{[エ]}$とする．

(2)$\displaystyle \left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} \right) \cos \frac{x}{2}=1+\cos x$の解は，$\displaystyle x=\frac{1}{[オ]}\pi$，$\displaystyle \frac{1}{[カ]}\pi$である．
ただし，$[オ]<[カ]$とする．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \pi \leqq \theta<2\pi,\ \cos \theta=\frac{3}{5}$のとき$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[ケコサ]}{[シス]}$，$\displaystyle \cos 2\theta=\frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos 15^\circ \cos 45^\circ \cos 75^\circ=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$である．
(3)$\sin 20^\circ+\sin 40^\circ-\cos 10^\circ=[ト]$である．

同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{O}$を原点として，以下の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{P}$の位置ベクトルは
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されることを示せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を実数として，点$\mathrm{Q}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されるベクトルの終点とする．$\alpha,\ \beta$が次のそれぞれの関係式を満たすとき，点$\mathrm{Q}$の存在範囲を図示せよ．ただし，結果に至るプロセスも示すこと．

\mon[$①$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta=1$
\mon[$②$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta \leqq 1$
\mon[$③$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ 1 \leqq \alpha+\beta \leqq 2$

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．底面$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とおき，頂点$\mathrm{O}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線からの距離が$r$以下である点全体からなる円柱を$T$とする．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．