放物線$y=x^2+2(1-a)x-3a$を，$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$7$だけ平行移動して得られる放物線を$C:y=f(x)$とする．ただし，$a$は定数とする．

(1)$C$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$x$軸の正の部分が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$の値が上の(2)で求めた範囲にあるとする．このとき，$0 \leqq x \leqq 5$における関数$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ$a$を用いて表せ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は，$x=2$で極大値$20$をとる．ただし，$a$と$b$は定数とする．

(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．また，$f(x)$の極小値を求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$2$曲線$y=f(x)$，$y=x^3+27$，および$2$直線$x=1$，$x=5$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=x+2$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{AD}=y$とする．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の内接円の半径をそれぞれ$r_1,\ r_2$とするとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=\frac{3}{2}$を満たしている．ただし，$x$と$y$は定数とし，$x>0$，$y>0$とする．

(1)$x,\ y,\ \cos \angle \mathrm{ADB},\ \cos \angle \mathrm{ADC}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の半径をそれぞれ$R_1,\ R_2$とするとき，$R_1$と$R_2$の値をそれぞれ求めよ．

初項が$4$，公差が$8$の等差数列を，初項から順に，$2n$個の項が第$n$群に含まれるように分けていく．

$4,\ 12 \ | \ 20,\ 28,\ 36,\ 44 \ | \ 52,\ 60,\ 68,\ 76,\ 84,\ 92 \ | \ \cdots$
{\small 第$1$群} \qquad {\small 第$2$群} \qquad\qquad\qquad {\small 第$3$群}

たとえば，$60$はこの数列の第$3$群の小さい方から$2$番目の項である．ただし，縦線$|$は群の区切りを表し，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．

(1)第$n$群の最初の項と最後の項を，それぞれ$n$を用いて表せ．
(2)第$n$群の項の総和$S_n$を$n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \frac{S_n}{n} \leqq 2012$を満たす最大の$n$を求めよ．
(3)$2012$は第何群の小さい方から何番目の項であるか答えよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次不等式$x^2+2x-15<0$を解け．
(2)次の連立不等式が解を持たないような定数$a$の値の範囲を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+2x-15<0 \\
ax-3 \geqq 0
\end{array}
\right. \]

円$\mathrm{O}:x^2+y^2=25$の上の$2$点$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(-3,\ 4)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$を$1:t (t>0)$に外分する点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{B}$における円$\mathrm{O}$の接線と点$\mathrm{C}$との距離が$12$であるとき，$t$の値を求めよ．

次の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$\sin 75^\circ+\sin 15^\circ=[ア]$である．
(2)実数$x$に対して，$n+0.3 \leqq x<n+1.3$を満たす整数$n$を用いて$\langle x \rangle =n+1$と定める．このとき$\langle 9.8 \rangle +\langle 10.2 \rangle +\langle 10.4 \rangle$の値は$[イ]$である．
(3)$1$以上$50$以下の整数のうち$5m+7n$（$m,\ n$は$0$以上の整数）と表されるものは全部で$[ウ]$個ある．

動点$\mathrm{P}$が$xy$平面上を図のように$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$から，まず$x$軸に沿って$\mathrm{A}_1(2^{10},\ 0)$まで進み，次に左に直角に曲がって$\mathrm{A}_2(2^{10},\ 2^9)$まで進み，さらに左に直角に曲がって$\mathrm{A}_3(2^{10}-2^8,\ 2^9)$まで進む．以下同様に線分の長さが
\[ \overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_{n}} \quad (n \geqq 1) \]
を満たしながら左に直角に曲がりつつ進むとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}}<1$を満たす最小の$n$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}_6$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{A}_{2k} (k \geqq 1)$の座標を$k$の式で表せ．
（図は省略）

関数$\displaystyle f(x)=\sin x-\frac{1}{2} (0 \leqq x \leqq \pi)$について以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx$を求めよ．
(2)$y=|f(x)|$のグラフの概形を描け．
(3)$\displaystyle F(a)=\int_0^a |f(x)| \, dx (0 \leqq a \leqq \pi)$を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数を記入せよ．

(1)$20^{10}$の正の約数は全部で$[ア]$個ある．
(2)$2<\log_a 900<6$を満たすような$2$以上の自然数$a$は全部で$[イ]$個ある．
(3)整数の組$(p,\ q)$のうち，$2$次方程式$x^2-2px+13=0$の解の$1$つが$p+qi$であるような組$(p,\ q)$は全部で$[ウ]$個ある．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$100$以下の自然数$m$のうち，$2$次方程式$x^2-x-m=0$の$2$つの解がともに整数であるような$m$は全部で$[エ]$個ある．
(5)$3$次方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$つの実数解をもつような整数$k$は全部で$[オ]$個ある．