数列$\{a_k\}$は，すべての自然数$n$に対して，
\[ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{3}{8}-\frac{3^n}{n+2} \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)$k \geqq 2$のとき，$a_k$を$k$の式で表せ．
(3)数列$\{b_k\}$を，すべての自然数$k$に対して，$\displaystyle b_k=\frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k$により定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を$n$の式で表せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{D}(1,\ 1,\ -2)$について，次の各問いに答えよ．また，$0<m<1$とする．

(1)$\mathrm{AB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{P}_m$とし，$\mathrm{OP}_m$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{Q}_m$とする．このとき，$\mathrm{Q}_{\frac{1}{5}}$の座標は，$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ][ル]},\ \frac{[レ]}{[ロ][ワ]},\ [ヲ] \right)$である．

(2)$\mathrm{OC}$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{R}_m$，$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{R}_m \mathrm{M}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{S}_m$とすると，$\mathrm{S}_{\frac{1}{2}}$の座標は，$\displaystyle \left( \frac{[ン][あ]}{[い][う]},\ \frac{[え]}{[お][か]},\ \frac{[き]}{[く]} \right)$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$について，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_m} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{1}{m+1}(-[け]m^2+[こ]m-[さ]) \]
である．したがって，この$2$つのベクトルは垂直にはなりえない．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるような$m$の値は，$\displaystyle m=\frac{[し]}{[す]}$である．

(5)$\displaystyle \frac{m+1}{m} \times \mathrm{Q}_m \mathrm{S}_m$が最小となるのは$\displaystyle m=\frac{[せ][そ]}{[た][ち]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \sqrt{\frac{[つ][て]}{[と][な]}}$である．

座標平面上に点$\mathrm{P}(s,\ t)$がある．ただし，$t<0$である．点$\mathrm{P}$から放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に引いた$2$本の異なる接線の接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta$を$s$を用いて表せ．ただし，$\alpha < \beta$とする．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の式を$s$と$t$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる部分の面積を$S$とするとき，$S$を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が点$(0,\ -3)$を中心とする半径$2$の円周上にあるとき，$S$の最大値，および最大値を与える点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$の定義域を$-4 \leqq x \leqq 2$とする．曲線$y=f(x)$は$3$点$(2,\ 12)$，$(-1,\ -12)$，$(-3,\ -8)$を通る．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$k$とする．放物線$y=px^2+qx+q$の頂点の座標が$(k,\ f(k))$であるとき，定数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$p \neq 0$とする．

$\mathrm{AB}=x^2$，$\mathrm{BC}=x+2$，$\mathrm{CA}=2x^2-6x+9$の三角形$\mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるとき，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$とする．

(1)$x$のとりうる値をすべて求めよ．
(2)それぞれの$x$の値について，$\cos A,\ \cos B,\ \cos C$を求めよ．
(3)それぞれの$x$の値について，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．$S_4=1152$，$S_{10}=2640$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を求めよ．
(2)$a_n<100$を満たす最小の$n$を求めよ．
(3)$S_n$の最大値とそのときの$n$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^4+2x^3+ax^2+b$は$x=-2$で極値をとり，$f(-1)=5$を満たす．ただし，$a$と$b$は定数とする．

(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$-3 \leqq x \leqq 1$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

放物線$C:y=-x^2+9x$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+9t)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{Q}(9,\ 0)$に対して，三角形$\mathrm{PHQ}$の面積を$S_1$とする．ただし，$0<t<9$である．

(1)$S_1$を$t$を用いて表せ．
(2)$S_1$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$が上の(2)で求めた値をとるとき，$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積$S_2$を求めよ．

曲線$C:y=\sqrt{x}$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sqrt{a})$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積が$18$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とし，$a>0$である．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$，曲線$C$，および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$x$の関数
\[ y=x^4+4x^3+2(2-a)x^2-4ax-1 \quad (-4 \leqq x \leqq 2) \]
について次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$t=x^2+2x (-4 \leqq x \leqq 2)$とおくとき，$t$の値の範囲を求めよ．また，$y$を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．このとき，$y$が最小になるような$x$の値を求めよ．
(3)$0 \leqq a \leqq 1$のとき，$y$の値の範囲を$a$を用いて表せ．このとき，$y$が最小になるような$x$の値を$a$を用いて表せ．