次の空欄$[ア]$から$[ク]$に当てはまるものをそれぞれ答えよ．

放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{x^2}{8}+4$と楕円$\displaystyle C_2:x^2+\frac{y^2}{4}=2$を考える．

$C_1$上の点$(4a,\ 2a^2+4)$での接線の方程式は
\[ y= [ア]x-[イ] \]
である．$C_1$上の点$(4a,\ 2a^2+4)$における接線が同時に$C_2$の接線でもあるような$a$の値は全部で$4$個ある．それらを小さい方から順に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とすれば，$a_1=[ウ],\ a_2=[エ]$である．$C_2$の囲む図形の面積は$[オ]$である．点$(4a_1,\ 2{a_1}^2+4)$における$C_1$の接線を$y=f(x)$，点$(4a_4,\ 2{a_4}^2+4)$における$C_1$の接線を$y=g(x)$とする．このとき，$y=g(x)$と$C_2$の接点は$([カ],\ [キ])$である．$6$つの不等式

$\displaystyle y \geqq f(x),\quad y \geqq g(x),\quad x^2+\frac{y^2}{4} \geqq 2,\quad y \leqq \frac{x^2}{8}+4,$
$4a_1 \leqq x \leqq 4a_4,\quad [キ] \leqq y$

を同時にみたす領域の面積は$[ク]-3\pi$である．

次の連立不等式を満たす整数$x$の値をすべて求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2-3x-6 \geqq -2 \\
x^2-3x-6 < 2x
\end{array}
\right. \]

次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{2}{3}x+1 > \frac{7}{3} \\
x+3 \geqq 5x-15
\end{array}
\right. \]

次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{2}{3}x+1 > \frac{7}{3} \\
x+3 \geqq 5x-15
\end{array}
\right. \]

次の連立不等式を満たす整数$x$の値をすべて求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2-3x-6 \geqq -2 \\
x^2-3x-6 < 2x
\end{array}
\right. \]

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$x^3-4x^2+ax+b=0$の$1$つの解が$1-2i$であるとき，実数解は$[ア]$であり，$a=[イ]$，$b=[ウ]$である．ただし，定数$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて$2$回振り，最初に出た目が$a$，次に出た目が$b$ならば座標平面上に直線$\ell:y=ax-b$を描く．この試行において，直線$\ell$が放物線$y=x^2$と相異なる$2$点で交わる確率は$[エ]$である．
(3)不等式$x^2+y^2+6x+4y-12 \leqq 0$の表す領域の面積は$[オ]$である．
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$であるとき，$x^3+y^3-2xy^2=[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，$\sqrt{3}\cos \theta-\sin \theta=r \sin (\theta +\alpha)$の形に変形すると，$r=[キ]$，$\alpha=[ク]$である．ただし，$0 \leqq \alpha < 2\pi$とする．
(6)実数からなる数列$\{a_n\}$が$a_{n+1}^3=2a_n^2,\ a_1=4$を満たすとき，$\log_2a_n=[ケ]$である．
(7)図のように東西$6$本，南北$6$本の道路で区画された場所がある．南西の端の地点$\mathrm{A}$から北東の端の地点$\mathrm{B}$へ行く最短ルートは$[コ]$通りある．
（図は省略）
(8)$3$次関数$f(x)=x^3-3a^2x+b (a>0)$が極大値$13$と極小値$-19$を持つならば$a=[サ]$，$b=[シ]$である．

次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[ア]$である．
(2)互いに異なる定数$a,\ b,\ c$が$\displaystyle \frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}$を満たすとき，$\displaystyle \frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}$のとる値は$[イ]$である．ただし，$abc \neq 0$とする．
(3)白玉$3$個と黒玉$3$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてもとに戻す．この試行を$3$回繰り返すとき，白玉を$2$回取り出す確率は$[ウ]$である．
(4)整式$P(x)$を$x-1$で割った余りが$-2$，$x-2$で割った余りが3，$x-3$で割った余りが8ならば，$P(x)$を$(x-1)(x-2)(x-3)$で割った余りは$[エ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$は$a_1=-7$と漸化式$2a_{n+1}=3a_n+8 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．この数列の一般項は$a_n=[オ]$である．
(6)平行四辺形ABCDにおいて，辺ABを$2:1$に内分する点をE，辺BCの中点をF，辺CDの中点をGとする．線分CEと線分FGの交点をHとすると，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[カ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[キ]\overrightarrow{\mathrm{AD}}$となる．
(7)関数$f(x)=x^2-2ax+a+6$がすべての実数$x$に対して$f(x)>0$を満たすならば，定数$a$の値の取りうる範囲は，$[ク]<a<[ケ]$となる．
(8)関数$f(x)=ax^2+bx+1$が$f(1)=-6$と$\displaystyle \int_0^3 \{ f^\prime(x) \}^2 \, dx=63$を満たすならば，定数$a,\ b$の値は$a=[コ],\ b=[サ]$である．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．

座標平面上に円$x^2+y^2=4$と円上の点$\mathrm{P}(1,\ -\sqrt{3})$，$\mathrm{Q}(-1,\ -\sqrt{3})$が与えられている．$0<\theta<\pi$のとき，円上の点を$\mathrm{R}(2\cos \theta,\ 2\sin \theta)$とし，$\angle \mathrm{QPR}=\alpha,\ \angle \mathrm{PQR}=\beta$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．

(1)点$(2,\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-2,\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，弧$\mathrm{PAR}$に対する中心角と弧$\mathrm{QBR}$に対する中心角を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$2 \sin \alpha=\sqrt{3} \sin \beta$となるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

集合$\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\}$の部分集合の中で，連続する自然数を含まない部分集合の個数を$f(n)$とする．ただし空集合は連続する自然数を含まない部分集合とする．たとえば$n=4$のとき，$\{1,\ 3,\ 4\}$は連続する自然数を含む部分集合，$\{2\}$や$\{1,\ 3\}$は連続する自然数を含まない部分集合である．このとき$f(1)=[(101)]$，$f(2)=[(102)]$，$f(3)=[(103)]$となる．$n \geqq 3$のとき
\[ f(n)=f(n-1)+[(104)]f(n-[(105)]) \]
である．$f(10)=[(106)][(107)][(108)]$となる．

曲線$y=x^3-x$を$C_1$とし，放物線$y=x^2+ax+b$を$C_2$とする．また，放物線$C_2$の頂点の座標は$(t,\ -t^2)$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3-x$の極値を求めよ．
(2)$a$を$t$で表せ．
(3)曲線$C_1$と放物線$C_2$が異なる共有点をちょうど$2$個もつ$t$の値が$2$つある．それらの値$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$を求めよ．
(4)$t=t_1$のとき，曲線$C_1$と放物線$C_2$によって囲まれた領域の面積を求めよ．