$t$を$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$をみたす実数とし，座標空間内に点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ \sqrt{3-t^2})$をとる．$\mathrm{P}$を通り$yz$平面に平行な平面を$\beta$とおく．3点$\mathrm{D}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{E}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{F}(-\sqrt{3},\ 0,\ 0)$に対し，$\beta$と直線$\mathrm{FD}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\beta$と直線$\mathrm{FE}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とおくとき，以下の問いに答えよ．ただし，$S(\sqrt{3})=0$とする．

(1)$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．

$k$は正の実数とする．$xy$平面において，$x$軸および2つの曲線
\[ C_1:y=k \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\quad C_2:y=\frac{1}{k}\sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で囲まれた図形の面積を$S(k)$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$および$\sin \alpha$を$k$を用いて表せ．
(2)$S(k)$を$k$を用いて表せ．
(3)$k$が$k>0$の範囲を動くときの$S(k)$の最大値を求めよ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

$0<a \leqq 1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)曲線$y=-x^2+1$と曲線$y=-(x-a)^2+1$の交点の座標を求めよ．
(2)$x$軸，$y$軸および曲線$y=-x^2+1 \ (x \geqq 0)$で囲まれた図形を$A$とし，$x$軸，直線$x=a$および曲線$y=-(x-a)^2+1 \ (x \leqq a)$で囲まれた図形を$B$とする．このとき，$A$と$B$の共通部分の面積$S(a)$を求めよ．
(3)$S(a)=S(1)$を満たす$a$の値を求めよ．ただし$0<a<1$とする．
(4)$S(a)$の最大値を求めよ．

$p$を自然数とし，$r$を1より大きい実数とする．数列$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$をすべて満たしている．

$(ⅰ)$ $\displaystyle a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$(ⅱ)$ $a_2=p$
$(ⅲ)$ $a_3 \leqq 13$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$について，$a_{n+2}=pa_{n+1}-a_n$が成り立つことを証明せよ．
(2)$p$および$r$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．$2m$個の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2m}$のうち，3の倍数であるものすべての和を求めよ．

$t$を1以上の実数とし，$f(x)=x^3+x^2-(t^2+t)x-t$とする．曲線$C:y=f(x)$を原点に関して対称移動して得られる曲線を$C_1$，$C$を$x$軸方向に1だけ平行移動して得られる曲線を$C_2$とする．また，$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，曲線$C_1,\ C_2,\ y$軸および直線$x=3$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$t \geqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

曲線$C:y=e^{-x}$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^{-a})$における$C$の法線$m$と直線$\ell_1:x=a$に関して，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell_1$と$m$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)$m$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とするとき，$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{P}$とおく．$a$が実数全体を動くとき，$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(4)$a$を(3)で求めた値とするとき，曲線$C$，$y$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

連続な関数$f(x)$が以下の式を満たすとき，次の問いに答えよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=\cos (ax)-b \]
ただし$a,\ b$は定数で$0<a<2$とする．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3) $f(x)$が最大値を取るときの$x$の値を求めよ．

$3$以上の自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とするとき，極限$\displaystyle c=\lim_{n \to \infty}\frac{1+b^n}{a^{n+1}+b^{n+1}}$を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$a=2,\ b=2$のとき，$c$の値を求めなさい．
(2)$a>2,\ b=2$のとき，$c$の値を求めなさい．
(3)$b=3$のとき，$\displaystyle c=\frac{1}{3}$となる$a$の範囲を求めなさい．