等式
\[ \begin{array}{lrr}
c=\sin 2\theta-2 \cos \theta & &\cdots\cdots① \\
\log_y(x-3)+\log_y(x+1)-1=0 \quad (y>0,\ y \neq 1) & & \cdots\cdots②
\end{array} \]
について，次の各問に解答しなさい．

(1)$①$式について，$\sin \theta+\cos \theta=1$とする．

(i) $\sin \theta$と$\cos \theta$のとりうる値を求めなさい．
(ii) $c$のとりうる値を求めなさい．
(iii) 1個のサイコロを投げるとき，2以下の目が出れば$\sin \theta=0$，3以上の目が出れば$\sin \theta=1$とする．$c$の確率分布を求め，さらに，$c$の平均と分散を求めなさい．

(2)$①$式について，$\displaystyle c=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin \theta=\frac{1}{2}$とする．

(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\tan \theta$および$\theta$の値を求めなさい．
(ii) $0 \leqq \theta \leqq 10\pi$のとき，$\theta$がとりうるすべての値の合計を求めなさい．

(3)$②$式について，$y$を$x$の関数として$y=f(x)$と表す．

(i) 関数$f(x)$を$x$で表し，$x$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(ii) $y=a$とするとき，$x$の値を$a$で表しなさい．ただし，$a$は$a>0,\ a \neq 1$を満たす定数である．

座標平面上の2点A$(6,\ 0)$，B$(-2,\ 4)$を結ぶ線分AB上を点Tが移動する．原点Oと点Tを頂点とし，2辺がそれぞれ$x$軸と$y$軸上にある長方形の面積を$S$とする．また，点Tの座標を$(x,\ f(x))$とし，$S$を$x$の関数として$S(x)$と表す．次の各問に解答しなさい．

(1)$f(x)$と$S(x)$を$x$で表しなさい．さらに，区間$-2 \leqq x \leqq 6$における$y=S(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(2)直線$x=-2$と曲線$y=S(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(3)区間$-2 \leqq x \leqq 4$における任意の$x$の値について，区間$x \leqq t \leqq x+2$における関数$S(t)$の最大値を$x$の関数として$M(x)$と定義する．関数$M(x)$を$x$で表し，さらに$y=M(x)$のグラフの概形を図示しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1 (y \geqq 0)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を積分法を用いて求めよ．
(2)$(1)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を積分法を用いて求めよ．

$a$を実数の定数とし，$5$次多項式$\displaystyle f(x)=x^5-\frac{5}{3}(a^2+1)x^3+5a^2x$を考える．ただし，$a>1$とする．

(1)$5$次方程式$f(x)=0$が$5$つの異なる実数解をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)$f(1)+f(a)$が${(a+1)}^3$で割り切れるかどうかを調べよ．
(3)$a$が$(1)$の条件を満たすとき，$|f(1)|>|f(a)|$となるための$a$の範囲を求めよ．
(4)$a$が$(1)$と$(3)$の条件を満たすとき，$5$次方程式$f(x)-c=0$が$5$つの異なる実数解をもつための実数$c$の範囲を求めよ．

$0 \leqq a \leqq 1$をみたす$a$に対して$A=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{1-a^2} & -a \\
a & \sqrt{1-a^2}
\end{array} \right)$とし，$A$の表す$1$次変換によって，平面上の点$(1,\ 1)$が，直線$y=\sqrt{3}x$上の点に移されるとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．

以下，$a$は$(1)$で求めた値とする．

\mon[$(2)$] $A^2$を求めよ．
\mon[$(3)$] $A^{2012}$を求めよ．

座標平面上の3点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(3,\ 0)$について，$\angle \mathrm{PAB}=3 \angle \mathrm{POB}$となる$y>0$の領域にある点$\mathrm{P}$を考える．$r=\mathrm{OP}$，$\theta=\angle \mathrm{POB}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$r$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}r$を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$で表すとき，$y$を$x$の式で表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$m$を5以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
\[ m!>2^m>m^2 \]
(2)自然数$n$に対する次の和を求めよ．
\[ S_n=\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \]
(3)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n<\frac{3}{4}$が成り立つことを示せ．
(4)(2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n>\frac{2}{3}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

$a>0$とする．次の関数$f(x)$について，$0 \leqq x \leqq 1$における最大値および最小値を求めよ．
\[ f(x)=x^3-a^2x \]

$2$次関数$f(x)=-x^2+10x-16$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$を満たす$x$の値$\alpha,\ \beta$を求めよ．ただし$\alpha<\beta$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$2$次関数$g(x)=px^2+qx$と$f(x)$は同じ$x$の値で極値をとり，関数$y=g(x)$のグラフと$x$軸および$2$直線$x=\alpha,\ x=\beta$とで囲まれた図形の面積が$(2)$で求めた$S$に等しいとする．定数$p,\ q$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$が条件
\[ a_1=-\frac{1}{4},\quad a_{n+1}={a_n}^2-\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められている．このとき，次の問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a_n<0 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$a_{2n-1}<a_{2n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)不等式$a_{2n}>a_{2n+2} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)不等式
\[ 0<a_{2n}-a_{2n-1} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^{2(n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．