$f(x)=\sqrt{x}e^{-x} (0 \leqq x \leqq 1)$とする．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$x+y=5,\ x^3+y^3=50$を満たすとき，$xy,\ x^2+y^2,\ x^5+y^5$の値を求めよ．
(2)$x>1$とする．不等式$\displaystyle \log_2 \frac{x}{4^3}+\log_x 4^4<0$を解け．

$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目の数を大きさの順に$a,\ b,\ c (a \leqq b \leqq c)$とする．

(1)$a<b<c$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$のうち少なくとも二つが$3$となる確率を求めよ．
(3)$b=3$かつ$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が実数解をもつ確率を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点$\mathrm{O}$を始点とする$3$つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$\mathrm{O}$とは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の$3$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$x,\ y$を正数とし，$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上に点P$_1$，P$_2$，P$_3$をそれぞれ，$\text{OP}_1=1,\ \text{OP}_2=x,\ \text{OP}_3=y$となるようにとる．$\triangle$P$_1$P$_2$P$_3$が正三角形となる$x,\ y$が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．Oとは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の3点P$_1$，P$_2$，P$_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$で
\[ f(x)+\int_1^x \frac{f(t)}{t} \, dt =3x^2-2x \]
を満たす多項式$f(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で(1)で求めた$f(x)$と$g(x)=1+3 \log x$を考える．このとき関数$f(x)$と$g(x)$のグラフをかけ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x>0 \\
0 \leqq y \leqq 1 \\
g(x) \leqq y \leqq f(x)
\end{array}
\right. \]
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線$C$を考える．円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$，点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする．

(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$a<b$とする．関数$f(x)$は閉区間$[a,\ b]$で連続，開区間$(a,\ b)$で少なくとも2回まで微分可能で，$f^{\prime\prime}(x) \geqq 0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a<c<b$とする．$y=g(x)$を点$(c,\ f(c))$における$f(x)$の接線とする．$a \leqq x \leqq b$のとき$g(x) \leqq f(x)$を示せ．
(2)$y=h(x)$を，$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$の2点を通る直線とする．$a \leqq x \leqq b$のとき$f(x) \leqq h(x)$を示せ．
(3)$a<c<b$とする．
\[ \frac{1}{2}(b-a) \left( f^\prime(c)(a+b-2c)+2f(c) \right) \leqq \int_a^b f(x) \, dx \leqq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a) \]
を示せ．
(4)\[ \frac{\pi}{2}e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\cos x} \, dx \leqq \frac{\pi}{4} \left( 1+\frac{1}{e} \right) \]
を示せ．

以下では，実数を成分にもつ行列を考える．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & d
\end{array} \right)$とする．

(i) $a>0,\ d \geqq 0$または$a \geqq 0,\ d>0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ．
(ii) $a<0$または$d<0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$が存在するための必要十分条件を$a,\ b,\ d$を用いて表せ．また，この条件が成り立つとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ．
(iii) $a=d=0,\ b \neq 0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．

(2)$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right),\ B^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．

(i) $p+s=0,\ ps-qr=0$となることを示せ．
(ii) $B \neq \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，$X^2=B$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．